Посмотрев лекцию профессора Робина Уилсона о тождестве Эйлера, я наконец смог понять, почему тождество Эйлера является самым красивым уравнением. Чтобы поделиться моим восхищением это темой и укрепить собственные знания, я изложу заметки, сделанные во время лекции. А здесь вы можете купить его прекрасную книгу.
Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто? Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице».
Рисунок 1.0: тождество Эйлера — e в степени i, умноженного на пи, плюс единица равно нулю.
Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему.
И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».
Рисунок 2.0: обложка журнала The Mathematical Intelligencer
Рисунок 3.0: опрос Дэвида Уэллса из журнала
Леонарда Эйлера называют самым продуктивным математиком за всю историю. Других выдающихся математиков вдохновляли его работы. Один из лучших физиков в мире, Ричард Фейнман, в своих знаменитых лекциях по физике назвал уравнение Эйлера «самой примечательной формулой в математике». Ещё один потрясающий математик, Майкл Атья, назвал эту формулу «…математическим аналогом фразы Гамлета — «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой».
Существует множество интересных фактов об уравнении Эйлера. Например, оно встречалось в некоторых эпизодах «Симпсонов».
Рисунок 4.0: в этой сцене уравнение Эйлера можно заметить на второй книге в самой правой стопке.
Рисунок 5.0: в этой сцене уравнение Эйлера написано на футболке второстепенного персонажа.
Также уравнение Эйлера стало ключевым пунктом в уголовном деле. В 2003 году аспирант Калифорнийского технологического института Билли Коттрелл писал краской на чужих спортивных автомобилях уравнение Эйлера. На суде он сказал: «Я знал теорему Эйлера с пяти лет, и её обязаны знать все«.
Рисунок 6.0: марка, выпущенная в 1983 году в Германии в память о двухсотлетии со смерти Эйлера.
Рисунок 7.0: марка, выпущенная Швейцарией в 1957 году в честь 250-й годовщины Эйлера.
Вы имеете полное право задаться вопросом: почему Билли Коттрелл считал, что об уравнении Эйлера обязаны знать все? И был настолько в этом уверен, что начал писать его на чужих машинах? Ответ прост: Эйлер воспользовался тремя фундаментальными константами математики и применил математические операции умножения и возведения в степень, чтобы записать красивую формулу, дающую в результате ноль или минус один.
Впервые тождество Эйлера появилось в 1748 году в его книге
e в степени i, умноженного на ϕ (фи) = cos ϕ + i * sin ϕ
Рисунок 8.0: экспоненциальная функция y=ex.
Рисунок 8.1: график тождества Эйлера.
Рисунок 8.
2: частоты, испускаемые LC-цепью.
Показанные выше уравнения и графы могут показаться абстрактными, но они важны для квантовой физики и вычислений обработки изображений, и при этом зависят от тождества Эйлера.
Число 1 (единица) является основой нашей системы исчисления. С неё мы начинаем счёт. Но как мы считаем? Чтобы считать, мы используем цифры 0–9 и систему разрядов, определяющую значение цифры.
Например, число 323 означает 3 сотни, 2 десятка и 3 единицы. Здесь число 3 исполняет две разные роли, которые зависят от его расположения.
323 = (3*100) + (2*10) + (3*1)
Существует и другая система исчисления, называемая двоичной. В этой системе вместо 10 используется основание 2. Она широко применяется в компьютерах и программировании. Например, в двоичной системе:
1001 = (23) + (02) + (01) + (20) = [9 в системе с основанием 10]
Кто создал системы исчисления? Как первые люди считали предметы или животных?
Как возникли наши системы исчисления? Как считали первые цивилизации? Мы точно знаем, что они не пользовались нашей разрядной системой.
Рисунок 11: показанные здесь иероглифы образуют число 4622; это одно из чисел, вырезанных на стене в храме в Карнаке (Египет).
Рисунок 12: иероглифы — это изображения, обозначающие слова, а в данном случае — числа.
В то же время, но в другом месте ещё один социум обнаружил способ подсчёта, но в нём тоже использовались символы. Кроме того, основанием их системы исчисления было 60, а не 10. Мы используем их метод счёта для определения времени; поэтому в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут.
Рисунок 13: вавилонские числа из шестидесятиричной системы счисления (с основанием 60).
Тысячу лет спустя древние римляне изобрели римские числа. Для обозначения чисел они использовали буквы.
Рисунок 14: романский абакус в шестнадцатеричной (с основанием 16) системе счисления
Рисунок 15: таблица преобразования из арабских в римские числа
Древние греки тоже не использовали разрядную систему счисления. Греческие математики обозначали числа буквами. У них были специальные буквы для чисел от 100 до 900. Многие люди в то время считали греческие числа запутанными.
Рисунок 15: таблица букв древних греков.
В то же самое время китайские математики начали использовать для расчётов небольшие бамбуковые палочки. Этот китайский способ счёта называют первой десятичной разрядной системой.
Рисунок 16: китайский способ счёта с числами-палочками.
Использовался как минимум с 400 года до нашей эры. Квадратная счётная доска использовалась примерно до 1500 года, когда её заменил абакус.
Однако самая уникальная система счёта использовалась индейцами майя. Их система счисления имела основание 20. Для обозначения чисел от 1 до 19 они использовали точки и линии. Чем же отличалась их система счисления? Для каждого числа они использовали изображения голов и отдельный символ нуля 0.
Рисунок 17: Система счисления майя с основанием 20, в которой числа обозначались головами
Рисунок 18: ещё один способ записи чисел майя.
Некоторые цивилизации использовали пробелы, чтобы, например, отличать число 101 от 11. Спустя какое-то время начало появляться особое число — ноль. К примеру, в пещере в индийском городе Гвалиор археологи обнаружили на стене число 270, в котором был ноль. Самое первое зафиксированное использование нуля можно увидеть в Бодлианской библиотеке.
Рисунок 19: вырезанный на стене храма в Гвалиоре круг обозначает ноль. Ему примерно 1500 лет.
Рисунок 20: чёрные точки в манускрипте Бакхшали обозначают нули; это самый старый письменный пример использования числа, ему примерно 1800 лет.
Примерно 1400 лет назад были записаны правила вычислений с нулём. Например, при сложении отрицательного числа и нуля получается то же отрицательное число. Деление на нуль не допускается, потому что если разделить на ноль, то мы получим число, которое может быть равно любому нужному нам числу, что должно быть запрещено.
Вскоре после этого многими людьми были опубликованы книги по арифметике, распространяющие использование индо-арабской записи чисел. Ниже показана эволюция индо-арабских чисел. В большинстве стран используется индо-арабская система чисел, но арабские страны до сих пор пользуются арабскими числами.
Рисунок 21: на этой схеме показана эволюция чисел, происходящих от чисел брахми и заканчивающаяся числами, которыми мы используем и сегодня.
Рисунок 22: классическая гравюра «Арифметика» из Margarita Philosophica Грегора Рейша, на которой изображено соревнование между Боэцием, улыбающимся после открытия индо-арабских чисел и письменных вычислений, и нахмуренным Пифагором, до сих пор пытающимся пользоваться счётной доской.
Пи — самое популярное из известных нам иррациональных чисел. Пи можно найти двумя способами: вычислив соотношение длины окружности к её диаметру, или соотношение площади круга к квадрату его радиуса. Евклид доказал, что эти соотношения постоянны для всех окружностей, даже для луны, пенни, шины и т.д.
Рисунок 22: анимированная связь между окружностью и диаметром в отношении пи.
Так как иррациональные числа наподобие пи бесконечны и не имеют повторений, мы никогда не закончим записывать пи.
Оно продолжается вечно. Есть люди, запомнившие множество десятичных разрядов пи (нынешний рекорд —
Рисунок 23: данные опроса 941 респондентов для определения процента людей, способных запомнить знаки пи после запятой.
Рисунок 24: На стене станции метро Karlsplatz в Вене записаны сотни разрядов пи.
На данный момент компьютеры смогли вычислить всего 2,7 триллиона разрядов пи. Может казаться, что это много, но на самом деле этот путь бесконечен.
Как я сказал выше, число пи нашёл Евклид. Но как поступали люди до Евклида, когда им нужно было найти площадь круга? Историки обнаружили вавилонскую глиняную табличку, в которой было записано отношение периметра шестиугольника к диаметру описанной вокруг него окружности. После вычислений полученное число оказалось равным 3.125. Это очень близко к пи.
Рисунок 24: вавилонская глиняная табличка с отношением периметра шестиугольника к длине описанной окружности.
Рисунок 25: Numberwarrior
Древние египтяне тоже близко подобрались к значению пи. Историки обнаружили документ, показывающий, как древние египтяне нашли число пи. Когда историки перевели документ, то нашли такую задачу:
Например, чтобы найти площадь поля диаметром 9 хета (1 хет = 52,35 метра), нужно выполнить следующее вычисление:Вычесть 1/9 диаметра, а именно 1. Остаток равен 8. Умножить его на 8, что даёт нам 64. Следовательно, площадь будет равна 64 setjat (единица измерения площади).
Другими словами, диаметр равен 2r, а 1/9 радиуса равно (1/9 • 2r). Тогда если мы вычтем это из исходного диаметра, то получим 2r — (1/9 • 2r) = 8/9(2r). Тогда площадь круга равна 256/81 r². То есть пи равно почти 3,16. Они обнаружили это значение пи примерно 4000 лет назад.
Рисунок 26: математический папирус Ахмеса.
Однако греческие математики нашли для вычисления пи способ получше.
Например, Архимед предпочитал работать с периметрами. Он начал рисовать окружности, описывающие многоугольники разного размера. Когда он чертил шестиугольник, то рисовал окружность с диаметром 1. Затем он видел что каждая сторона шестиугольника равна 1/2, а периметр шестиугольника равен 1/2 x 6 = 3. Затем он увеличивал количество сторон многоугольника, пока он не становился похожим на круг. Работая со 96-сторонним многоугольником и применив тот же способ, он получил 2 десятичных разряда пи после запятой: 3 и 10/71 = 3,14084. Спустя много лет китайский математик Лю Ху использовал 3072-сторонний многоугольник и получил число 3,14159 (5 верных десятичных разрядов числа пи после запятой). После этого ещё один китайский математик Цзу Чунчжи провёл ещё более впечатляющую работу. Он работал со 24000-сторонним многоугольником и получил 3,1415926 — семь верных десятичных разрядов пи после запятой.
Спустя тысячу лет немецкий математик Людольф Цейлен работал со 262-сторонним многоугольником и получил 35 десятичных разрядов пи.
Это число, названное Людольфовым, было высечено на его могильном камне.
В 1706 году англичанин Джон Мэчин, долгое время работавший профессором астрономии, использовал формулу сложения, чтобы доказать, что пи равно
Не беспокоясь о том, как откуда взялась эта формула, Мэчин начал постоянно ею пользоваться, а затем записал показанный ниже ряд. Это был самый большой на то время шаг в количестве разрядов пи.
Рисунок 29: Формула Мэчина для пи
Однако первое упоминание пи появилось в 1706 году. Преподаватель математики Уильям Джонс написал книгу и впервые предложил пи для измерения окружностей. Так пи впервые появилась в книгах!
Рисунок 30: Juliabloggers
В 1873 году Уильям Шэнкс воспользовался формулой Джона Мэчина и получил 707 десятичных разрядов пи. Эти цифры написаны в комнате пи парижского Дворца открытий.
Однако позже математики выяснили, что верными являются только 527 разрядов.
Рисунок 31: комната пи
С другой стороны, более интересный способ нахождения пи обнаружил Буффон. Его эксперимент основывался на случайном разбрасывании иголок для оценки пи. Он нарисовал на доске несколько параллельных линий на расстоянии D и взял иголки длиной L. Затем он случайным образом начал бросать иголки на доску и записывал долю иголок, пересекавших линию.
Рисунок 32.0: Science Friday
А после этого другой математик по имени Ладзарини подбросил иголку 3408 раз и получил шесть десятичных разрядов пи с соотношением 355/113. Однако если бы одна иголка не пересекла линию, он получил бы только 2 разряда пи.
Рисунок 32.1: бросание 1000 иголок для оценки приблизительного значения пи
e — это ещё одно знаменитое иррациональное число.
Дробная часть e тоже бесконечна, как и у пи. Мы используем число e для вычисления степенного (экспоненциального) роста. Другими словами, мы используем e, когда видим очень быстрый рост или уменьшение.
Один из величайших, а возможно и лучший математик Леонард Эйлер открыл число e в 1736 году и впервые упомянул это особое число в своей книге Mechanica.
Рисунок 33: источник
Чтобы разобраться в экспоненциальном росте, мы можем использовать историю об изобретателе шахмат. Когда он придумал эту игру, то показал её властителю Севера. Царю понравилась игра и он пообещал, что отдаст автору любую награду. Тогда изобретатель попросил нечто очень простое: 20 зерна на первую клетку шахматной доски, 21 зерна на вторую клетку доски, 22 зерна — на третью, и так далее. Каждый раз количество зерна удваивалось. Царь Севера подумал, что просьбу будет выполнить легко, но он ошибался, потому то на последнюю клетку нужно было бы положить 263 зёрен, что равно 9 223 372 036 854 775 808.
Это и есть экспоненциальный рост. Он начался с 1, постоянно удваивался, и через 64 шага вырос в огромное число!
Если бы изобретатель шахмат выбрал линейное уравнение, например 2n, то получил бы 2, 4, 6, 8, … 128… Следовательно, в дальней перспективе экспоненциальный рост часто намного превышает полиномиальный.
Кстати, 9 223 372 036 854 775 808–1 — это максимальное значение 64-битного целого числа со знаком.
Рисунок 34: источник: Wikipedia
Число e открыл Эйлер. Однако Якоб Бернулли тоже работал с числом e, когда вычислял сложный процент, чтобы заработать больше денег. Если вложить 100 долларов под 10% дохода, то как будет расти эта сумма? Во-первых, это зависит от того, как часто банк рассчитывает проценты. Например, если он рассчитывает один раз, то мы получим в конце года 110 долларов. Если мы передумаем и будем брать проценты каждые 6 месяцев, то в этом случае мы получим больше 110 долларов.
Дело в ттом, что процент, полученный за первые 6 месяцев, тоже получит свой процент. Общая сумма будет равна 110,25 долларов. Можно догадаться, что мы можем получить больше денег, если будем забирать деньги каждый квартал года. А если мы будем делать временной интервал всё короче, то окончательные суммы будут продолжать расти. Такой бесконечный сложный процент сделает нас богатыми! Однако наш общий доход стремится к ограниченному значению, связанному с e.
Бернулли не называл число 2,71828 именем e. Когда Эйлер работал с 2,71828, он возвёл экспоненциальную функцию e в степень x. Свои открытия он изложил в книге The Analysis of Infinite.
В 1798 году Томас Мальтус использовал экспоненциальную функцию в своём эссе, посвящённом пищевому дефициту будущего. Он создал линейный график, показывающий производство пищи и экспоненциальный график, показывающий население мира. Мальтус сделал вывод, что в дальней перспективе экспоненциальный рост победит, и мир ждёт серьёзный дефицит пищи.
Это явление назвали «мальтузианской катастрофой». Ньютон тоже использовал эту модель, чтобы показать, как охлаждается чашка чая.
Рисунок 35: закон Ньютона-Рихмана
Рисунок 36: мальтузианская катастрофа
Долгое время для решения своих задач математикам было достаточно обычных чисел. Однако в какой-то момент для дальнейшего развития им потребовалось открыть нечто новое и загадочное. Например, итальянский математик Кардано пытался разделить число 10 на 2 части, произведение которых было бы равно 40. Чтобы решить эту задачу, он записал уравнение: x (10-x) = 40. Когда он решил это квадратное уравнение, то получил два решения: 5 плюс √-15 и 5 минус √-15, что в то время не имело никакого смысла. Этот результат был бессмысленным, потому что по определению квадратного корня ему нужно было найти число, квадрат которого был бы отрицательным.
Однако и положительное, и отрицательное числа в квадрате имеют положительное значение. Как бы то ни было, он нашёл своё уникальное число. Однако первым математиком, назвавшим √-1 (квадратный корень из минус единицы) мнимым числом i, был Эйлер.
Лейбниц дал такой комментарий о мнимом числе √-1:
Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.
Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить мнимые числа. Сложение, вычитание и умножение просты, а деление немного сложнее. Вещественные и мнимые части складываются по отдельности. В случае умножения i2 будет равно -1.
После Эйлера математик Каспар Вессель представил мнимые числа геометрически с создал комплексную плоскость. Сегодня мы представляем каждое комплексное число a + bi как точку с координатами (a,b).
Рисунки 37 и 38: комплексные числа
В викторианскую эпоху многие относились к мнимым числам с подозрением.
Однако ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон покончил с этими сомнениями, определив комплексные числа применительно к кватернионам.
Тождество Эйлера связывает экспоненциальную функцию с функциями синуса и косинуса, значения которых колеблются от минус единицы до единицы. Чтобы найти связь с тригонометрическими функциями, мы можем представить их в виде бесконечного ряда, истинного для всех значений
Рисунок 39: открытие тождества Эйлера
Рисунок 40: тождество Эйлера
Эйлер никогда не записывал это тождество в явном виде, и мы не знаем, кто впервые записал его. Тем не менее, мы связываем его с именем Эйлера в знак почтения перед этим великим первопроходцем математики.
Как любая система, сетка строится на основе модуля. Модуль в применении к сетке — некая минимальная единица измерения, которая ложится в основу всей структуры.
24 021 просмотров
Прежде чем говорить о сетке, сразу хочется познакомить вас с термином EM — это величина, относительная единица измерения, которая используется в веб-вёрстке.
Почему именно EM? Этот термин пришёл из высокого набора, когда приходилось считать количество знаков. Тогда была придумала эта историческая единица, которая равняется самой большой букве (когда буквы были материальные, когда был высокий набор, литер вырезался из дерева или выливался из метала) и самой большой буквой в наборе была М. То есть это некоторая усредненная единица, равняющаяся среднему размеру буквы в шрифте.
Другими словами, это некая стандартная буква, усреднённая.
Как получаем числовой показатель? К примеру, представим строку, набранную 16 кеглем и высотой строки 24px. Если 24 разделить на 16 получится 1,5.
По классике книжной вёрстки оптимальная длина строки 45–75 знаков, а высота 1,4 em.
Примеры того, как это накладывается на современную строку на сайте:
Оптимально для мобильных устройств:
32–38 знаков.
1,3–1,5 em — размер высоты строки.
Вывод: чем короче строка, тем меньше высота строки.
Из-за того, что в вебе человек не читает, а сканирует, высота строки на сайтах больше классической.
Итак, мы поговорили про строку и об основных её положениях. Теперь поговорим про сетку и то, зачем она нужна.
Часто, когда говорят про сетку, показывают газету.
Разберём её более детально.
Модуль
Как любая система, сетка строится на основе модуля. Модуль в применении к сетке — это некая минимальная единица измерения, которая ложится в основу всей структуры.
При построении сетки мы обычно используем модуль 6 px, то есть в нём все размеры сетки кратны 6 px (в каких-то крайних случаях эти 6 px можно разделить надвое, и получается 3 px).
Высота колонки — кратна.
Отступы между колонками — кратны.
Отступы от краев — кратны.
То есть получается, высота строки любого текстового блока кратна либо 6 либо 3 px. За счёт этого вся система замыкается на себе и становится очень цельной.
Кроме того, это экономит время и позволяет не думать о том, где должен стоять тот или иной блок — вы просто выравниваете его сначала по большой сетке (колоночной), потом по маленькой (модульной).
Колонки:
Это основные составляющие сетки. Ниже вы видите 12-колоночную сетку, где фиолетовая полоса представляют одну колонку.
Межколонные интервалы:
Узкие жёлтые полоски являются формой микропробелов, которые дают сетке немного воздуха.
Важный момент: отступы от краёв сетки всегда должны быть больше, чем отступы между колонками. Благодаря этому у вас на сайте всегда будет соблюдаться правило внешних и внутренних отступов.
Столбцы:
Они образуют прочную структуру, которая даёт последовательность и порядок из-за выравнивания.
Почему 12-колоночная сетка считается самой удобной? Потому что она хорошо делится на три, четыре и шесть столбцов, что достаточно гибко и подходит для разных типов контента.
1024–1400 px — это стандартная 12-колоночная сетка на десктопе.
На планшете количество колонок уменьшается в два раза. Этого более чем достаточно при работе с планшетом. Как и в случае с мобильными устройствами, всё становится менее динамичным, более спокойным и функциональным.
Также юзабельным вариантом считается четырёхколоночная сетка.
Она простая и надёжная, но из-за симметричности может выглядеть скучновато.
Трёхколоночная сетка — более смелый вариант.
В случае использования асимметричной сетки вам нужно разумно находить баланс для своего проекта.
Стандартные выкладки при разработке сайтов
Стоит помнить, что высота строки наборного текста никогда не должна быть равна или больше отступов между колонками. Если так происходит, то скорее всего, во время вёрстки будет тяжело работать с этой сеткой и блок будет сыпаться рядом с другим.
На мобильных устройствах есть один интересный момент — если в вашей типографике используются жирные заголовки и вам хочется сделать её богаче с большим количеством начертаний и контрастов, то можно заголовок второго уровня сделать такого же размера как наборный шрифт (то есть опустить его на ступень по модульной шкале размеров) и за счёт своей насыщенности он так же хорошо будет работать в макете.
Эксперимент:
Здесь дизайнер избавился от межколонных отступов и просто последовательно разделил весь экран на 12 колонок на десктопе — и на меньшее количество колонок на последующих устройствах. Это даёт интересный эффект.
В качестве отступов от контента мы делаем по одной колонке и отступы между блоками уже прописываем сами фиксировано, то есть они не резиновые. Можете попробовать сами, создаёт очень интересное впечатление от вёрстки. Кроме того, боковые отступы становятся более осмысленные и всегда подчиняются вашей логике, которую вы заложили при помощи сетки и поделили пространство.
Зачастую проблемы выявляются на больших разрешениях.
Это обусловлено тем, что все уже научились адаптировать свой макет к маленьким устройствам. Тем более, что там логика упрощается.
Минусы:
То есть дизайнер разрабатывает макет под 1024 px, не сильно стараясь прогнозировать то, что с ним произойдёт на разрешениях 1600 px и больше.
Выделяя просто какую-то зону под дизайн, всю логику, красоту и вёрстку, а по бокам остаются неосмысленные куски пространства.
Не надо так!
Пустое пространство — это мощный инструмент выразительности, управления вниманием, и оно всегда должно быть осознанным. Не оставляйте «висящие уши» по краям.
Такое случается, когда прекращают соблюдаться правила оптимального количества знаков в строке. За счёт этого макет становится растянутым и резиновым. Задача дизайнера в данном случае — не густо покрыть всё контентом, а всё-таки сделать текст читабельным.
Нет ничего страшного, если при помощи сетки у вас осознанно всё пространство и просто в какой-то момент текстовой блок упирается в невидимую стену, перестает деформироваться и остаётся в том диапазоне символов в строке, когда это удобно читается.
Другая распространённая ошибка, когда дизайнер имеет свободное пространство и тут же решает всё заполонить дизайном и контентом.
Когда пользователь видит такое обилие контента, ему не только сложно разобраться, где и что тут главное, где точка входа и за что зацепиться взгляду, но у него и не возникает желания этого делать. Пользователь видит слишком много информации и закрывает страницу.
Полезные ссылки на инструменты, которые помогут создавать сетки:
B45: ресторан в пентхаусе и потрясающий вид на город и гавань с B45
orez.io/i/504f92d16bc247139151bb9732a919be-Thumb» data-src=»https://uc.orez.io/f/504f92d16bc247139151bb9732a919be» data-poster=»»>B45: Верхняя палуба из спален … знаменитое казино и гавань Авалон с видом на город.
B45: Жилые помещения… и спальные диваны…
B45: Барбекю в патио
B45: Диван-кровать и телевизор с плоским экраном
orez.io/i/48839034bd23483c9fc725e1f65c4799-Thumb» data-src=»https://uc.orez.io/f/48839034bd23483c9fc725e1f65c4799″ data-poster=»»>B37: Патио на нижней палубе
B45: столовая, телевизор и барная стойка
B45 Кухонный бар для завтрака
B45: Зона разговора
orez.io/i/91ca741bea0c4868962a2c95ea66d26c-Thumb» data-src=»https://uc.orez.io/f/91ca741bea0c4868962a2c95ea66d26c» data-poster=»»>B45 : Кухня
B45
B45
B45: Главная ванная комната
orez.io/i/0583fd5d07c24e13954013ddd2e07e75-Thumb» data-src=»https://uc.orez.io/f/0583fd5d07c24e13954013ddd2e07e75″ data-poster=»»>B45
B45: Вторая спальня
B45 Стиральная машина Сушилка для белья
B37: Гостиная и столовая
orez.io/i/1e5211ca44df475dad75e80d3561d3f8-Thumb» data-src=»https://uc.orez.io/f/1e5211ca44df475dad75e80d3561d3f8″ data-poster=»»>Б37
Б37
B37 Кухня
B37 Кухня Барная стойка для завтраков с видом на просторный внутренний дворик и барбекю
orez.io/i/95dedb18f9b944848ca303a06d5daeff-Thumb» data-src=»https://uc.orez.io/f/95dedb18f9b944848ca303a06d5daeff» data-poster=»»>B37 Жилая площадь
B37: переговорная зона, барная стойка,
Главный люкс B37
B37 Основная ванная комната
orez.io/i/e13ae5d0d717454a9d62c200c9d86887-Thumb» data-src=»https://uc.orez.io/f/e13ae5d0d717454a9d62c200c9d86887″ data-poster=»»>B37 Гостевая ванная комната с ванной/душем
B37 Вторая спальня
B37 Патио Балкон и знаменитое «казино» над крышами…
Барбекю Traeger на древесных гранулах.
.
Огни города и гавани
Набережная Авалона
Пирс…
Удобства –
Интернет
вид на океан
(более.
..)
У нас есть две квартиры в комплексе Bahia Vista, и мы приняли решение предлагать их в виде пакета — две единицы, которые можно забронировать — для больших групп или семей. Оба номера имеют исключительный вид на город и гавань с каждого из четырех патио-балконов. ПРИМЕЧАНИЕ; БАССЕЙН И СПА НЕ РАБОТАЮТ
Каждая квартира имеет 2 спальни и 2 ванные комнаты, и обе квартиры находятся в одном здании — одна квартира (B37) на 3-м и 4-м уровнях, а другая квартира (B45) на 5-й и 6-й уровни … практически прямо сверху.
Да, это отпуск, и «Остров» ждет вас. Гольф, зиплайн, подводное плавание, рыбалка, походы, парасейлинг, мини-гольф, прогулки на лодке со стеклянным дном, круизы с ужином, шоппинг, изысканные рестораны и намного больше.
ПРИМЕЧАНИЕ. Минимальный срок проживания в выходные дни составляет две ночи из-за большого количества запросов. Мы ценим ваше понимание!
Ключевые слова: пляж, Авалон, гавань, океан, вид на океан, вид, кондо, пентхаус, люкс, бассейн, спа, джакузи, балкон, палуба, 2 спальни
ПРИМЕЧАНИЕ.
Бассейн и спа закрыты до дальнейшего уведомления. Гость получает 50%, если отмена происходит не менее чем за 7 дней до прибытия; Нет возврата в течение 7 дней после прибытия. При бронировании необходимо внести возвращаемый гарантийный залог в размере 300 долларов США. Это может покрыть повреждение устройства, а также дополнительную очистку, если это необходимо. Возвращаемый залог будет возвращен в течение 14 дней после регистрации отъезда.
Авалон, Калифорния
| Тип недвижимости | Квартира |
|---|---|
| Размещение | Весь дом |
| Регистрироваться | Сейф |
| домашние правила |
|
| Настройка и просмотр |
|
| Общий |
|
| Кухня |
|
| Ванные комнаты | 4 ванные комнаты
4 ванны
 |
| Спальные места | 4 спальни,
4-12 спальных мест
 выше. |
| Развлечение |
|
| Семья |
|
| открытый |
|
| Достопримечательности |
|
| Досуг |
|
| Спорт и приключения |
|
| Безопасность |
|
| Ожидания |
|
| Доступность |
|
Сезоны с тарифами не найдены.
Политика отмены бронирования: Сто процентов (100,00%) от общей стоимости бронирования будут возвращены, если отмена производится более чем за 14 дней до даты прибытия бронирования. Пятьдесят процентов (50,00%) от общей стоимости бронирования будут возвращены, если отмена производится более чем за 7 дней до даты прибытия бронирования. При отмене бронирования менее чем за 7 дней до даты заезда возврат средств не производится.
Две отдельные комнаты , расположенная напротив храма Кулимха, в одной минуте ходьбы от удивительной площади Патан Дурбар, включенной в список Всемирного наследия ЮНЕСКО.
Квартира состоит из гостиной /оборудованной кухни и отдельной спальни/кабинета . Отдельные ванные комнаты с горячей водой как в гостиной, так и в спальне. Обратите внимание, что кровать представляет собой среднюю кровать 1,40 м.
Гостиную можно превратить в спальню, если добавить дополнительную кровать. В каждом номере свой санузел/душ.
Квартира очень красивая, очень светлая и тихая, но важно отметить, что кухня полностью независима от спальни ( на лестнице есть две отдельные двери: гостиная / ванная комната с левой стороны и спальня/ванная справа). Отдельные пространства иногда хороши при совместном проживании в одной квартире, но стоит упомянуть об этом, так как некоторым людям это может показаться странным 😉
****************************************************** **********************************************
Гости смогут насладиться полной конфиденциальностью в своем подразделении они будут полностью независимыми в этом листинге .
Мы не живем в одном доме, но каждый день нас можно найти примерно в 50 метрах, в Yatachhen House/Cosy Nepal office (Swotha Square). Мы всегда рады помочь нашим гостям со всем, что им может понадобиться, и приятно поболтать с ними
Мы также создали особый путеводитель , который вы найдете в номере по прибытии. Там вы найдете все наши секретные советы для прекрасного отдыха 😉
************************************* ******************************************************* *******
Остановившись в этой части города (часть объектов всемирного наследия ЮНЕСКО), вы окружены индуистскими храмами, буддийскими ступами, монастырями, местными закусочными и скрытыми двориками . Яркая местная жизнь неваров (коренной этнической группы долины Катманду) гарантирует вам очень богатый культурный опыт.
• Расположен в самом сердце исторического центра города Патан (Кулимха Толе)
• Тихо расположен на площади, где нет прямого шума с дороги (приятные звонки по утрам).
And each unit is a tri-level with sets of 7 steps at each of the 3 levels.»/>