Шар — геометрическое тело, его поверхность — сфера.
Рис. \(1\). Шар. Рис. \(2\). Сфера.
Винтовая линия — объёмная фигура, но это не тело.
Рис. \(3\). Винтовая линия.
Пирамида — геометрическое тело, которое ограничено плоскими многоугольниками.
Рис. \(4\). Пирамида . Рис. \(5\). Развёртка пирамиды.
Плоскость
Простейшая поверхность — плоскость. В окружающем мире поверхность множества предметов подобна геометрической плоскости, например, пол в комнате, стол, поверхность воды в озере или бассейне. Большинство упомянутых предметов — прямоугольной формы; если разглядывать их с большого расстояния, то они напоминают параллелограммы. Поэтому довольно часто плоскость на рисунке изображается в виде параллелограмма, но её можно изобразить и по-другому — любой замкнутой линией.
Примеры плоскости в природе: поверхности пола, стола, книг, воды.
Рис. \(6\). Поверхности стола и пола. Рис. \(7\). Поверхности книг.
Рис. \(8\). Поверхность воды.
В стереометрии так же, как и в планиметрии, определяется равенство двух геометрических тел или фигур.
Две фигуры (или тела) называются равными, если их можно совместить наложением.
Главная величина геометрических тел — это их объём.
Объём геометрического тела — это величина, которая описывает занимающую этим телом часть пространства.
Из определения следует, что объём не зависит ни от местонахождения тела в пространстве, ни от того, как это тело делится на части.
Величину объёма вычисляют, основываясь на аксиомах:
1) равные тела имеют равные объёмы.
2) Объём тела равен сумме объёмов его отдельных частей.
Чтобы объём можно было измерить, т. е. чтобы объём можно было бы выразить в виде числа, необходимо выбрать единицу измерения объёма.
Единица объёма — это объём такого куба, ребро которого равно одной единице длины.
Если ребро куба равно \(1\) \(см\), то его объём обозначается кубическими сантиметрами — см3, если ребро куба равно \(1\) \(м\), то объём обозначается кубическими метрами — м3.
Тела с равными объёмами называются равновеликими. На рисунке \(9\) показаны равные тела с объёмом \(8\) см3, а на рисунке \(10\) — равновеликие тела с объёмом \(6\) см3.
Рис. \(9\). Равные тела. Рис. \(10\). Равновеликие тела.
Все равные тела равновелики, но не все равновеликие тела равны.
Источники:
Рисунки 1-5. Шар, сфера, винтовая линия, пирамида, рвзвёртка пирамиды, © ЯКласс.
Рисунки 9, 10. Равные тела, равновеликие тела, © ЯКласс.
Цели урока:
Планируемые результаты:
личностные:
метапредметные:
предметные:
УУД общенаучные:
УУД личностные:
Оборудование: учебник, интерактивная доска, смайлики, модели фигур, развёртки фигур, светофоры индивидуальные, прямоугольники -средства обратной связи, Толковый словарь.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы: словесные, исследовательские, наглядные, практические.
Формы работы: фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.
1. Организация начала урока.
Утром солнышко взошло.
Новый день нам принесло.
Сильными и добрыми
Новый день встречаем мы.
Вот мои руки, я раскрываю
Их навстречу солнцу.
Вот мои ноги, они твердо
Стоят на земле и ведут
Меня верной дорогой.
Вот моя душа, я раскрываю
Её навстречу людям.
Наступи, новый день!
Здравствуй, новый день!
2. Актуализация знаний.
Создадим хорошее настроение. Улыбнитесь мне и друг другу, садитесь!
Чтобы дойти до цели, надо прежде всего идти.
Перед вами высказывание, прочитайте. Что означает это высказывание?
(Чтобы чего-то добиться, нужно что-то делать)
— И действительно, ребята, попадающим в цель может стать только тот, кто настраивает себя на собранность и организованность своих действий. И вот я надеюсь, что мы с вами на уроке достигнем своей цели.
— Начнем наш путь к достижению цели сегодняшнего урока.
3. Подготовительная работа.
— Посмотрите на экран. Что вы видите? (Геометрические фигуры)
Назовите эти фигуры.
— Какое задание, вы можете предложить своим одноклассникам? (разделите фигуры на группы)
— У вас на партах лежат карточки с этими фигурами.
Выполните это задание в парах.
— По какому признаку вы разделили эти фигуры?
— С какими фигурами мы уже работали? Что учились находить у них? Какие фигуры встречаются нам на геометрии впервые?
— Какая же тема нашего урока? (Учитель добавляет слова на доске: объёмные, на доске появляется тема урока: Объёмные геометрические фигуры.)
— Чему мы должны научиться на уроке?
4. «Открытие» нового знания в практической исследовательской работе.
(Учитель показывает куб и квадрат.)
— Чем они похожи?
— Можно ли сказать, что это одно и тоже?
— Чем же отличается куб от квадрата?
— Давайте проведём опыт. (Ученики получают индивидуальные фигуры – куб и квадрат.)
— Попробуем приложить квадрат к плоской поверхности порты. Что видим? Он весь (целиком) лёг на поверхность парты? Вплотную?
! Как назовём фигуру, которую можно целиком расположить на одной плоской поверхности? (Плоской фигурой.
)
— Можно ли куб полностью (весь) прижать к парте? Проверим.
— Можно ли назвать куб плоской фигурой? Почему? Есть ли пространство между рукой и партой?
! Значит, что мы можем сказать о кубе? (Занимает определённое пространство, является объёмной фигурой.)
ВЫВОДЫ: Чем же отличаются плоские и объёмные фигуры? (Учитель вывешивает на доске выводы.)
ПЛОСКИЕ
ОБЪЁМНЫЕ
Объёмные фигуры: пирамида, куб, цилиндр, конус, шар, параллелепипед.
4. Открытие новых знаний.
1. Назовите фигуры, изображенные на рисунке.
— Какую форму имеют основания этих фигур?
— Какие еще формы можно увидеть на поверхности куба и призмы?
2. Фигуры и линии на поверхности объемных фигур имеют свои названия.
— Предложите свои названия.
— Боковые стороны, образующие плоскую фигуру называются гранями. А боковые линии – рёбра. Углы многоугольников – вершины. Это элементы объемных фигур.
— Ребята, а как вы думаете, как называются такие объемные фигуры, у которых много граней? Многогранники.
Работа с тетрадями: чтение нового материала
Соотнесение реальных объектов и объёмных тел.
— А теперь подберите для каждого предмета ту объёмную фигуру, на которую он похож.
+ Коробка – параллелепипед.
5. Физминутка.
1. Представьте себе большой шар, погладьте его со всех сторон. Он большой, гладкий.
(Ученики «обхватывают» руками и гладят воображаемый шар.
)
А теперь представьте себе конус, дотроньтесь до его вершины. Конус растёт вверх, вот он уже выше вас. Допрыгните до его вершины.
Представьте, что вы внутри цилиндра, похлопайте по его верхнему основанию, потопайте по нижнему, а теперь руками по боковой поверхности.
Цилиндр стал маленькой подарочной коробочкой. Представьте, что вы сюрприз, который находится в этой коробочке. Я нажимаю кнопку и… сюрприз выскакивает из коробочки!
6. Групповая работа:
(Каждая группа получает одну из фигур: куб, пирамиду, параллелепипед.Полученную фигуру дети изучают, выводы записывают в подготовленную учителем карточку.)
Группа 1. (Для изучения параллелепипеда)
| Эта объемная фигура называется ______________ . Его стороны (грани) похожи на плоскую фигуру ______________ . Их ровно ______________ . Еще у этой фигуры есть углы – вершины, их ______________ .  |
Группа 2. (Для изучения пирамиды)
| Эта объемная фигура называется ______________ . Его стороны (грани) похожи на плоскую фигуру ______________ . Их ровно ______________ . Еще у этой фигуры есть углы – вершины, их ______________ . |
Группа 3. (Для изучения куба)
| Эта объемная фигура называется ______________ . Его стороны (грани) похожи на плоскую фигуру ______________ . Их ровно ______________ . Еще у этой фигуры есть углы – вершины, их ______________ . |
Далее каждая группа выступает, представляя свою объемную фигуру другим.
7. Решение кроссворда
8. Итог урока. Рефлексия деятельности.
Решение кроссворда в презентации
— Что нового вы для себя сегодня открыли?
+ Все геометрические фигуры можно разделить на объёмные и плоские.
+ А я узнал названия объёмных фигур
При подготовке малыша к школе важно учитывать многие аспекты и направления. Причем важны не только учебные навыки, но и развитые внимание, память, усидчивость, умение общаться со сверстниками и т.д. Но, тем не менее, чтобы ребенок не столкнулся с большими для него трудностями (а их и так хватает в плане адаптации), то будущему первокласснику необходимо обладать некими знаниями и умениями.
Об этом более подробно можно почитать в статьях:
Учебная готовность к школе
Диагностика развития детей 6-7 лет
Диагностика развития мелкой моторики
В рамках данной статьи остановлюсь на геометрии. Нужно ли в возрасте 6-7 лет знать названия геометрических фигур и геометрических тел? Считаю, что да. Ребенок в этом возрасте вполне способен запомнить названия и узнавать основные геометрически фигуры и тела.
Легко и в игровой форме ребенку будет совсем несложно запомнить их названия.
Геометрический зоопаркОбъемные фигуры часто дети запоминают, играя в конструктор и строя башни. Как раз самое время показать ребенку КУБ, ШАР, ЦИЛИНДР, КОНУС, ПИРАМИДУ. Так незаметно для себя, в игре ребенок получает необходимые ему знания.
Также полезно находить очертания уже знакомых фигур в окружающих предметах.
Выполнение несложных, но интересных для ребенка, заданий, связанных с геометрическими фигурами очень полезно. Это и развитие пространственного видения, и логики, и наглядно-образного мышления. Далеко не каждый ребенок справится, например, с таким несложным заданием, как РАСКРАСЬ ФИГУРЫ ТАК, ЧТОБЫ ОДНА ИЗ УКАЗАННЫХ ФИГУР ЛЕЖАЛА СВЕРХУ. Самый простой вариант этого задания — всего две фигуры.
Также часто встречающееся в школе задание на подсчет определенных фигур.
Сложность в том, что ребенок часто называет только те фигуры, которые хорошо видно, не учитывая при этом наложение.
В этой книге вы найдете множество интересных развивающих заданий с плоскими и объёмными фигурами.
Книга в увлекательной форме знакомит детей с азами геометрии: плоскими и объемными геометрическими фигурами.
Все задания носят игровой и занимательный характер.
Направлены на развитие:
В книге 60 страниц.
Развивающие задания, представленные в книге, будут интересны и полезны детям 5-8 лет.
Книгу можно использовать при подготовке детей к школе.
Задания можно распечатать сколько угодно раз или вывести на интерактивную доску.
Задания, не требующие раскрашивания можно выполнить прямо на компьютере.
С уважением, Ольга Наумова
Благодарю, что поделились статьей в социальных сетях.
Геометрические объемные фигуры — это твердые тела, которые занимают ненулевой объем в евклидовом (трехмерном) пространстве. Эти фигуры изучает раздел математики, который носит название «пространственная геометрия». Знания о свойствах объемных фигур применяются в инженерии и в науках о природе. Рассмотрим в статье вопрос, геометрические объемные фигуры и их названия.
Поскольку эти тела имеют конечную размерность в трех пространственных направлениях, то для их описания в геометрии используют систему из трех координатных осей. Эти оси обладают следующими свойствами:
Говоря о геометрических объемных фигурах и их названиях, следует отметить, что все они принадлежат к одному из 2-х больших классов:
Что касается свойств объемных фигур, то следует выделить два самых важных из них:
Оба свойства для каждой фигуры описываются конкретными математическими формулами.
Рассмотрим ниже самые простые геометрические объемные фигуры и их названия: куб, пирамиду, призму, тетраэдр и шар.
Под геометрической фигурой куб понимают объемное тело, которое образовано 6-тью квадратными плоскостями или поверхностями. Также эту фигуру называют правильный гексаэдр, поскольку она имеет 6 сторон, или прямоугольный параллелепипед, так как он состоит из 3-х пар параллельных сторон, которые взаимно перпендикулярны друг другу. Называют куб и прямоугольной призмой, у которой основание является квадратом, а высота равна стороне основания.
Поскольку куб является многогранником или полиэдром, то для него можно применить теорему Эйлера, чтобы определить число его ребер.
Зная, что число сторон равно 6, а вершин у куба 8, число ребер равно: Р = С + В — 2 = 6 + 8 — 2 = 12.
Если обозначить буквой «a» длину стороны куба, тогда формулы для его объема и площади поверхности будут иметь вид: V = a3 и S = 6*a2, соответственно.
Пирамида — это полиэдр, который состоит из простого многогранника (основание пирамиды) и треугольников, которые соединяются с основанием и имеют одну общую вершину (вершина пирамиды). Треугольники называются боковыми гранями пирамиды.
Геометрические характеристики пирамиды зависят от того, какой многоугольник лежит в ее основании, а также от того, является ли пирамида прямой или косой. Под прямой пирамидой понимают такую пирамиду, для которой перпендикулярная основанию прямая, проведенная через вершину пирамиды, пересекает основание в ее геометрическом центре.
Одной из простых пирамид является четырехугольная прямая пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной «a», высота этой пирамиды «h».
Для этой фигуры пирамиды объем и площадь поверхности будут равны: V = a2*h/3 и S = 2*a*√(h2+a2/4) + a2, соответственно. Применяя теорему Эйлера для нее, с учетом того, что число граней равно 5, и число вершин равно 5, получаем количество ребер: Р = 5 + 5 — 2 = 8.
Под геометрической фигурой тетраэдр понимают объемное тело, образованное 4-мя гранями. Исходя из свойств пространства, такие грани могут представлять только треугольники. Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.
Если все 4-ре треугольника, образующие грани тетраэдра, являются равносторонними и равными между собой, то такой тетраэдр называется правильным. Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 — 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a3*√2/12 и S = √3*a2, где a — длина стороны равностороннего треугольника.
Интересно отметить, что в природе некоторые молекулы имеют форму правильного тетраэдра. Например, молекула метана CH4, в которой атомы водорода расположены в вершинах тетраэдра, и соединены с атомом углерода ковалентными химическими связями. Атом углерода находится в геометрическом центре тетраэдра.
Простая в изготовлении форма фигуры тетраэдр используется также в инженерии. Например, тетраэдрическую форму используют при изготовлении якорей для кораблей. Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.
Эту геометрическую фигуру можно получить, если взять два многогранника, расположить их параллельно друг другу в разных плоскостях пространства, и соединить их вершины соответствующим образом между собой. В итоге получится призма, два многогранника называются ее основаниями, а поверхности, соединяющие эти многогранники, будут иметь форму параллелограммов.
Призма называется прямой, если ее боковые стороны (параллелограммы) являются прямоугольниками.
Призма — это полиэдр, поэтому для нее верна теорема Эйлера. Например, если в основании призмы лежит шестиугольник, тогда, количество сторон у призмы равно 8, а количество вершин — 12. Число ребер будет равно: Р = 8 + 12 — 2 = 18. Для прямой призмы высотой h, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной a, объем равен: V = a2*h*√3/4, площадь поверхности равна: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).
Говоря о простых геометрических объемных фигурах и их названиях, следует упомянуть шар. Под объемным телом под названием шар понимают тело, которое ограничено сферой. В свою очередь, сфера — это совокупность точек пространства, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферы.
Поскольку шар относится к классу круглых тел, то для него не существует понятия о сторонах, ребрах и вершинах. Площадь поверхности сферы, ограничивающей шар, находится по формуле: S = pi*r2, а объем шара можно вычислить по формуле: V = pi*r3/3, где pi — число пи (3,14), r — радиус сферы (шара).
Просмотров 4.1к. Обновлено
Объемные геометрические фигуры для дошкольников легко изготовить из палочек и пластилина вместе с детьми. Это легко, забавно и познавательно.
Геометрия с детьми легко изучается при наличии наглядного материала. Тут мы изучали двухмерные геометрические фигуры для дошкольников. А сегодня — трехмерные, объемные геометрические фигуры.
Что нам понадобится:
Предложенное занятие состоит из воспроизведения объемных геометрических фигур с шариками из пластилина и деревянными палочками.
В зависимости от того, какие палочки вы подберете, изменится размер наших геометрических фигур. Во всех случаях и только для некоторых фигур, таких как параллелепипед, нам нужно будет обрезать несколько одинаковых палочек меньшего размера.
Их можно резать ножницами или кусачками. Эта часть должна быть сделана взрослым.
Читайте также:
Шаблоны многогранников для склеивания
Упражнения для развития пространственного воображения у детей
3Д конструктор из картона своими руками
Перед началом работы с этими конструкциями, желательно усвоить понятие двухмерных (плоских) геометрических фигур. Для того, чтобы дети знали понятия вершин и сторон. Тогда им легко будет понять, что каждый шарик представляет собой вершину и они будут служить для соединения палочек. Каждая палочка представляет стороны геометрической фигуры.
На каждой из карточек-шаблонов мы находим подсказку с количеством вершин-шариков и сторон-палочек, которые нам нужны для создания фигуры.
Как только мы получим 2-мерную форму, мы можем приступить к сборке 3-мерных форм, таких как призмы, пирамиды и т.д.
Наглядно видно элементы, из которых состоят фигуры. На следующем фото вы можете увидеть пятиугольник, пятиугольную призму и пятиугольную пирамиду.
Дети могут играть, чтобы изобрести свои собственные объемные геометрические фигуры.
Играя с пластилином, дети отрабатывают мелкую моторику и ловкость рук среди множества других преимуществ этой поделки.
Пластилиновые шарики должны быть достаточно большими, чтобы их можно было соединить с несколькими зубочистками, но не слишком большими, чтобы не мешать воспринимать полученную форму.
Распечатайте и разрежьте пополам карточки-шаблоны для поделки с фигурами из пластилина и палочек.
Существует бесконечное множество форм. Формой называют внешнее очертание предмета.
Изучение форм можно начинать с самого раннего детства, обращая внимание своего ребенка на окружающий нас мир, который состоит из фигур (тарелка – круглая, телевизор – прямоугольный).
Уже с двух лет малыш должен знать три простые фигуры – круг, квадрат, треугольник.
Сначала он их должен просто показывать, когда вы это просите. А в три года уже называть их самостоятельно и отличать круг от овала, квадрат от прямоугольника.
Чем больше упражнений на закрепление форм будет выполнено ребенком, тем больше новых фигур он запомнит.
Будущий первоклашка должен знать все простые геометрические фигуры и уметь составлять из них аппликации.
Геометрическая фигура — это эталон, с помощью которого можно определить форму предмета или его частей.
Фигуры разделяют на две группы: плоские фигуры, объемные фигуры.
Плоскими фигурами мы назовем те фигуры, которые расположены в одной плоскости. К ним относятся круг, овал, треугольник, четырёхугольник (прямоугольник, квадрат, трапеция, ромб, параллелограмм) и всевозможные многоугольники.
К объемным фигурам относят: сфера, куб, цилиндр, конус, пирамида. Это те фигуры, которые имеют высоту, ширину и глубину.
Следуйте двум простым советам при объяснении геометрических фигур:
То, что нам, взрослым, кажется простым и логичным ребенку покажется просто непонятным.Геометрическая фигура — множество точек на поверхности (зачастую на плоскости), которое образует конечное количество линий.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая линия . Отрезок, луч, ломаная линия — самые простые геометрические фигуры на плоскости.
Точка — мельчайшая геометрическая фигура, являющаяся основой других фигур во всяком изображении либо чертеже.
Каждая более сложная геометрическая фигура есть множество точек, которые обладают определенным свойством, характерное только для этой фигуры.
Прямая линия , либо прямая — это бесконечное множество точек, расположенных на 1-ой линии, которая не имеет начала и конца. На листе бумаги можно увидеть лишь часть прямой линии, т.к. она не имеет предела.
Прямую изображают так:
Часть прямой линии, которая ограничена с 2-х сторон точками, называют отрезком прямой, либо отрезком. Его изображают так:
Луч — это направленная полупрямая, имеющая точку начала и у которой нет конца. Луч изображают так:
Если на прямой поставить точку, то эта точка будет разбивать прямую на 2 противоположно направленных луча. Эти лучи называют дополнительными .
Ломаная линия — несколько отрезков, которые соединены друг с другом таким образом, что конец 1-го отрезка оказывается началом 2-го отрезка, а конец 2-го отрезка — началом 3-го отрезка и так далее, причем соседние (которые имеют 1-ну общую точку) отрезки располагаются на разных прямых. Когда конец последнего отрезка не совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет называться незамкнутой :
Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет замкнутой .
Пример замкнутой ломаной — это всякий многоугольник:
Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник (прямоугольник) :
Трехзвенная замкнутая ломаная линия —
Маленькие детки готовы учиться везде и всегда. Их юный мозг способен улавливать, анализировать и запоминать столько информации, сколько трудно даже взрослому человеку. То, чему родители должны научить малышей, имеет общепринятые возрастные рамки.
Основные геометрические фигуры и их названия дети должны узнать в возрасте от 3 до 5 лет.
Поскольку все дети разнообучаемы, то эти границы лишь условно приняты в нашей стране.
Геометрия — это наука о формах, размерах и расположении фигур в пространстве. Может создаться впечатление, что это сложно для малышей. Однако предметы изучения этой науки находятся повсюду вокруг нас. Вот почему иметь основные познания в этой области важно и для детей, и для старших.
Чтобы увлечь детей изучением геометрии, можно прибегнуть к веселым картинкам.
Дополнительно хорошо бы иметь пособия, которые ребенок сможет потрогать, ощупать, обвести, раскрасить, узнать с закрытыми глазами. Основной принцип любых занятий с детьми — удержание их внимание и развития тяги к предмету с использованием игровых приемов и непринужденной веселой обстановки.
Сочетание нескольких средств восприятия сделает свое дело очень быстро. Воспользуйтесь нашей мини-методичкой, чтобы научить ребенка отличать геометрические фигуры, знать их названия.
Круг — самая первая из всех фигур. В природе вокруг нас многое имеет круглую форму: наша планета, солнце, луна, сердцевина цветка, многие фрукты и овощи, зрачки глаз. Объемный круг — это шар (мячик, клубок)
Начать изучение формы круга с ребенком лучше, рассматривая рисунки, а потом уже подкрепить теорию практикой, дав ребенку подержать что-нибудь круглое в руках.
Квадрат — это фигура, у которой все стороны имеют одинаковую высоту и ширину. Квадратные предметы — кубики, коробки, дом, окно, подушка, табурет и т.
п.
Строить из квадратных кубиков всякие домики очень просто. Рисунок квадрата проще сделать на листочке в клетку.
Прямоугольник — родственник квадрата, который отличается тем, что имеет одинаковые противоположные стороны. Так же, как и у квадрата, у прямоугольника все равны 90 градусам.
Можно найти множество предметов, имеющих форму прямоугольника: шкафы, бытовая техника, двери, мебель.
В природе форму треугольника имеют горы и некоторые деревья. Из ближайшего окружения малышей можно привести в пример треугольную крышу дома, различные дорожные знаки.
В форме треугольника были построены некоторые древние сооружения, например храмы и пирамиды.
Овал — это круг, вытянутый с двух сторон. Формой овала обладают, например: яйцо, орехи, многие овощи и фрукты, человеческое лицо, галактики т. д.
Овал в объеме называется эллипсом. Даже Земля сплюснута с полюсов — эллипсовидная.
Ромб — тот же квадрат, только вытянутый, т.
е. имеет два тупых угла и пару острых.
Изучать ромб можно с помощью наглядных пособий — нарисованной картинки или объемного предмета.
Геометрические фигуры по названиям запомнить несложно. В игру их изучение для детей можно превратить, применив следующие идеи:
Можно придумать много возможностей научить малышей знать названия геометрических фигур. Все способы хороши: рисунки, игрушки, наблюдения за окружающими предметами.
Начните с малого, постепенно усложняя информацию и задания. Вы не ощутите, как пролетит время, а малыш обязательно порадует вас успехами в скором.
Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множество, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Точка – неопределяемое понятие. С точкой обычно знакомят, рисуя ее или прокалывая стержнем ручки в листочке бумаги. Считается, что точка не имеет ни длины, ни ширины, ни площади.
Линия –
неопределяемое понятие. С линией
знакомят, моделируя ее из шнура или
рисуя на доске, на листе бумаги.
Основное
свойство прямой линии: прямая линия
бесконечна. Кривые линии могут быть
замкнутыми и незамкнутыми.
Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны.
Отрезок – часть прямой, заключенная между двумя точками – концами отрезка.
Ломаная – линия из отрезков, соединенных последовательно под углом друг к другу. Звено ломаной – отрезок. Точки соединения звеньев называют вершинами ломаной.
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной. Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла.
Угол называется
развернутым, если его стороны лежат на
одной прямой. Угол, составляющий половину
развернутого угла, называется прямым.
Угол, меньший прямого, называется
острым. Угол, больший прямого, но меньше
развернутого, называется тупым.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков. В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Остроугольным
называется треугольник, все углы
которого острые. Прямоугольным –
треугольник, который имеет прямой угол.
Треугольник, который имеет тупой угол,
называется тупоугольным. Треугольники
называются равными, если у них
соответствующие стороны и соответствующие
углы равны. При этом соответствующие
углы должны лежать против соответствующих
сторон. Треугольник называется
равнобедренным, если у него две стороны
равны. Эти равные стороны называются
боковыми, а третья сторона
называется основанием
треугольника.
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами.
Диагональю называется отрезок, соединяющий противоположные вершины многоугольника.
Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые.
Квадрато м называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие не соседние, называются диагоналями.
Окружностью называется
фигура, которая состоит из всех точек
плоскости, равноудаленных от данной
точки, которая называется центром.
Но
поскольку в начальных классах не дается
это классическое определение, знакомство
с окружностью проводят методом показа,
связывая его с непосредственной
практической деятельностью по
вычерчиванию окружности с помощью
циркуля. Расстояние от точек до ее
центра называется радиусом. Отрезок,
соединяющий две точки окружности,
называется хордой. Хорда, проходящая
через центр, называется диаметром.
Круг -часть плоскости, ограниченная окружностью.
Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм.
Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.
Пирамида – многогранник, у которого одна грань (ее называют основанием) – какой-нибудь многоугольник, а остальные грани (их называют боковыми) – треугольники с общей вершиной.
Цилиндр –
геометрическое тело, образованное
заключенными между двумя параллельными
плоскостями отрезками всех параллельных
прямых, пересекающих круг в одной из
плоскостей, и перпендикулярных плоскостям
оснований.
Конус – тело, образованное
всеми отрезками, соединяющими данную
точку – его вершину – с точками
некоторого круга – основание конуса.
Шар – множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии не большем некоторого данного положительного расстояния. Данная точка – это центр шара, а данное расстояние – радиус.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
Введение
Геометрия — одна из важнейших компонент математического образования, необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, а также для эстетического воспитания. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, формирование навыков доказательства.
В курсе геометрии 7 класса систематизируются знания о простейших геометрических фигурах и их свойствах; вводится понятие равенства фигур; вырабатывается умение доказывать равенство треугольников с помощью изученных признаков; вводится класс задач на построение с помощью циркуля и линейки; вводится одно из важнейших понятий — понятие о параллельных прямых; рассматриваются новые интересные и важные свойства треугольников; рассматривается одна из важнейших теорем в геометрии — теорема о сумме углов треугольника, которая позволяет дать классификацию треугольников по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).
На протяжении занятий, особенно при переходе от одной части занятия к другой, смене деятельности встает вопрос о поддержании интереса к занятиям. Таким образом, актуальным становится вопрос о применении на занятиях по геометрии задач, в которых есть условие проблемной ситуации и элементы творчества . Таким образом, целью данного исследования является систематизация заданий геометрического содержания с элементами творчества и проблемных ситуаций.
Объект исследования : Задачи по геометрии с элементами творчества, занимательности и проблемных ситуаций.
Задачи исследования: Проанализировать существующие задачи по геометрии, направленные на развитие логики, воображения и творческого мышления. Показать, как занимательными приемами можно развить интерес к предмету.
Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в том, что собранный материал может быть использован в процессе дополнительных занятий по геометрии, а именно на олимпиадах и конкурсах по геометрии.
Объем и структура исследования:
Исследование состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, содержит 14 страниц основного машинописного текста, 1 таблицу, 10 рисунков.
Глава 1. ПЛОСКИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. Основные геометрические фигуры в архитектуре зданий и сооружений
В окружающем нас мире существует множество материальных предметов разных форм и размеров: жилые дома, детали машин, книги, украшения, игрушки и т. д.
В геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура, при этом разделяя геометрические фигуры на плоские и пространственные. В данной работе будет рассмотрен один из интереснейших разделов геометрии — планиметрия, в которой рассматриваются только плоские фигуры. Планиметрия (от лат. planum — «плоскость», др.-греч. μετρεω — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.
Плоской геометрической фигурой называется такая, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт любой рисунок, сделанный на листе бумаги.
Но прежде, чем рассматривать плоские фигуры, необходимо познакомиться с простыми, но очень важными фигурами, без которых плоские фигуры просто не могут существовать.
Самой простой геометрической фигурой является точка. Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка — это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии.
Прямая — одно из фундаментальных понятий геометрии.При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии (евклидовой).
Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить, как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.
Прямые в пространстве могут занимать различные положения, рассмотрим некоторые из них и приведем примеры, встречающиеся в архитектурном облике зданий и сооружений (табл. 1):
Таблица 1
Параллельные прямые | Свойства параллельных прямых | |
Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны: | Ессентуки, здание грязелечебницы (фото автора) | |
Пересекающиеся прямые | Свойства пересекающихся прямых | Примеры в архитектуре зданий и сооружений |
Пересекающиеся прямые имеют общую точку, то есть точки пересечения их одноименных проекций лежат на общей линии связи: | Здания «горы» на Тайване https://www. | |
Скрещивающиеся прямые | Свойства скрещивающихся прямых | Примеры в архитектуре зданий и сооружений |
Прямые, не лежащие в одной плоскости и не параллельные между собой, являются скрещивающимися. Ноне является общей линией связи. Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скрещивающиеся прямые лежат в двух параллельных плоскостях. | Робер, Гюбер — Вилла Мадама под Римом https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287 |
1.2. Плоские геометрические фигуры. Свойства и определения
Наблюдая за формами растений и животных, гор и извилинами рек, за особенностями ландшафта и далекими планетами, человек заимствовал у природы ее правильные формы, размеры и свойства.
Материальные потребности побуждали человека строить жилища, изготавливать орудия труда и охоты, лепить из глины посуду и прочее. Все это постепенно способствовало тому, что человек пришел к осознанию основных геометрических понятий.
Четырехугольники:
Параллелограмм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — черта, линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Признаки параллелограмма:
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий: 1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник — параллелограмм. 2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Трапеция— это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.
Треугольник — это простейшая геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника , а отрезки — сторонами треугольника. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют свойства треугольников. Так возникла наука тригонометрия — наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.
Правда, верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу.
Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Вот одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру:
Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенное в XY-XIX веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все.
Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как замкнутая ломаная.
Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку.
Существует большое количество геометрических фигур, все они отличаются параметрами и свойствами, порой удивляя своими формами.
Чтобы лучше запомнить и отличать плоские фигуры по свойствам и признакам, я придумал геометрическую сказку, которую хотел бы представит вашему вниманию в следующем параграфе.
Глава 2. ЗАДАЧИ-ГОЛОВОЛОМКИ ИЗ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
2.1.Головоломки на построение сложной фигуры из набора плоских геометрических элементов.
Изучив плоские фигуры, я задумался, а существуют какие-нибудь интересные задачи с плоскими фигурами, которые можно использовать в качестве заданий-игр или заданий-головоломок. И первой задачей, которую я нашел, была головоломка «Танграм».
Это китайская головоломка. В Китае ее называют «чи тао ту», т.е умственная головоломка из семи частей. В Европе название «Танграм» возникло, вероятнее всего, от слова «тань», что означает «китаец» и корня «грамма» (греч. — «буква»).
Для начала необходимо начертить квадрат 10 х10 и разделить его на семь частей: пять треугольников 1-5 , квадрат 6 и параллелограмм 7 . Суть головоломки состоит в том, чтобы, используя все семь частей, сложить фигурки, показанные на рис.3.
Рис.3. Элементы игры «Танграм» и геометрические фигуры
Рис.
4. Задания «Танграм»
Особенно интересно составлять из плоских фигур «образные» многоугольники, зная лишь очертания предметов (рис.4). Несколько таких заданий-очертаний я придумал сам и показал эти задания своим одноклассникам, которые с удовольствием принялись разгадывать задания и составили много интересных фигур-многогранников, похожих на очертания предметов окружающего нас мира.
Для развития воображения можно использовать и такие формы занимательных головоломок, как задачи на разрезание и воспроизведение заданных фигур.
Пример 2. Задачи на разрезание (паркетирование) могут показаться, на первый взгляд, весьма многообразными. Однако в большинстве в них используется всего лишь несколько основных типов разрезаний (как правило, те, с помощью которых из одного параллелограмма можно получить другой).
Рассмотрим некоторые приёмы разрезаний. При этом разрезанные фигуры будем называть многоугольниками.
Рис. 5. Приёмы разрезаний
На рис.
5 представлены геометрические фигуры, из которых можно собрать различные орнаментальные композиции и составить орнамент своими руками.
Пример 3. Еще одна интересная задача, которую можно самостоятельно придумать и обмениваться с другими учениками, при этом кто больше соберет разрезанные фигуры, тот объявляется победителем. Задач такого типа может быть достаточно много. Для кодирования можно взять все существующие геометрические фигуры, которые разрезаются на три или четыре части.
Рис.6.Примеры задач на разрезание:
—— — воссозданный квадрат; — разрез ножницами;
Основная фигура
2.2.Равновеликие и равносоставленные фигуры
Рассмотрим еще один интересный прием на разрезание плоских фигур, где основными «героями» разрезаний будут многоугольники. При вычислении площадей многоугольников используется простой прием, называемый методом разбиения.
Вообще многоугольники называются равносоставленными, если, определенным образом разрезав многоугольник F на конечное число частей, можно, располагая эти части иначе, составить из них многоугольник Н.
Отсюда вытекает следующая теорема: равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь, поэтому они будут считаться равновеликими.
На примере равносоставленных многоугольников можно рассмотреть и такое интересное разрезание, как преобразование «греческого креста» в квадрат (рис.7).
Рис.7. Преобразование «греческого креста»
В случае мозаики (паркета), составленной из греческих крестов, параллелограмм периодов представляет собой квадрат. Мы можем решить задачу, накладывая мозаику, составленную из квадратов, на мозаику, образованную с помощью крестов, так, чтобы при этом конгруэнтные точки одной мозаики совпали с конгруэнтными точками другой (рис.8).
На рисунке конгруэнтные точки мозаики из крестов, а именно центры крестов, совпадают с конгруэнтными точками «квадратной» мозаики — вершинами квадратов. Параллельно сдвинув квадратную мозаику, мы всегда получим решение задачи. Причем, задача имеет несколько вариантов решений, если при составлении орнамента паркета используется цвет.
Рис.8. Паркет, собранный из греческого креста
Еще один пример равносоставленных фигур можно рассмотреть на примере параллелограмма. Например, параллелограмм равносоставлен с прямоугольником (рис.9).
Этот пример иллюстрирует метод разбиения, состоящий в том, что для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей можно было составить более простой многоугольник, площадь которого нам уже известна.
Например, треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту. Из этого положения легко выводится формула площади треугольника.
Отметим, что для приведенной выше теоремы справедлива и обратная теорема: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены.
Эту теорему, доказанную в первой половине XIX в. венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким офицером и любителем математики П.Гервином, можно представить и в таком виде: если имеется торт в форме многоугольника и многоугольная коробка, совершенно другой формы, но той же площади, то можно так разрезать торт на конечное число кусков (не переворачивая их кремом вниз), что их удастся уложить в эту коробку.
Заключение
В заключении отмечу, что задач на плоские фигуры достаточно представлено в различных источниках, но интерес представили для меня те, на основании которых мне пришлось придумывать свои задачи-головоломки.
Ведь решая такие задачи, можно не просто накопить жизненный опыт, но и приобрести новые знания и умения.
В головоломках при построении действий-ходов используя повороты, сдвиги, переносы на плоскости или их композиции, у меня получились самостоятельно созданные новые образы, например, фигурки-многогранники из игры «Танграм».
Известно, что основным критерием подвижности мышления человека является способность путём воссоздающего и творческого воображения выполнить в установленный отрезок времени определенные действия, а в нашем случае — ходы фигур на плоскости. Поэтому изучение математики и, в частности, геометрии в школе даст мне еще больше знаний, чтобы в дальнейшем применить их в своей будущей профессиональной деятельности.
Библиографический список
1.
Павлова, Л.В. Нетрадиционные подходы к обучению черчению: учебное пособие/ Л.В. Павлова. — Нижний Новгород: Изд-во НГТУ, 2002. — 73 с.
2. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с.
3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053
Приложение 1
Анкета-опросник для одноклассников
1. Знаете ли вы, что такое головоломка «Танграм»?
2. Что такое «греческий крест»?
3. Было бы вам интересно узнать, что такое «Танграм»?
4. Было бы вам интересно узнать, что такое «греческий крест»?
Было опрошено 22 ученика 8 класса. Результаты: 22 ученика не знают, что такое «Танграм» и «греческий крест». 20-ти ученикам было бы интересно узнать о том, как с помощью головоломки «Танграм», состоящая из семи плоских фигур, получить более сложную фигуру. Результаты опроса обобщены на диаграмме.
Приложение 2
Элементы игры «Танграм» и геометрические фигуры
Преобразование «греческого креста»
Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Точка – основное понятие геометрии, это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса.
Линия – это множество точек, последовательно расположенных друг за другом. У линии измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет.
Прямая линия – это линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны.
Луч – это часть прямой линии, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону.
Отрезок – это часть прямой линии, ограниченная двумя точками.
Отрезок имеет начало и конец, поэтому можно измерить его длину.
Кривая линия – это плавно изгибающаяся линия, которая определяется расположением составляющих её точек.
Ломаная линия – это фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединенных своими концами.
Вершины ломаной – это
Звенья ломаной – это отрезки, из которых состоит ломаная. Количество звеньев ломаной всегда на 1 меньше, чем количество вершин ломаной.
Незамкнутая линия – это линия, концы которой не соединены вместе.
Замкнутая линия – это линия, концы которой соединены вместе.
Многоугольник – это замкнутая ломанная линия. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.
Цели урока :
Планируемые результаты:
личностные:
метапредметные:
предметные:
УУД общенаучные :
УУД личностные :
Оборудование : учебник, интерактивная доска, смайлики, модели фигур, развёртки фигур, светофоры индивидуальные, прямоугольники -средства обратной связи, Толковый словарь.
Тип урока : изучение нового материала.
Методы : словесные, исследовательские, наглядные, практические.
Формы работы : фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.
1. Организация начала урока.
Утром солнышко взошло.
Новый день нам принесло.
Сильными и добрыми
Новый день встречаем мы.
Вот мои руки, я раскрываю
Их навстречу солнцу.
Вот мои ноги, они твердо
Стоят на земле и ведут
Меня верной дорогой.
Вот моя душа, я раскрываю
Её навстречу людям.
Наступи, новый день!
Здравствуй, новый день!
2. Актуализация знаний.
Создадим хорошее настроение. Улыбнитесь мне и друг другу, садитесь!
Чтобы дойти до цели, надо прежде всего идти.
Перед вами высказывание, прочитайте. Что означает это высказывание?
(Чтобы чего-то добиться, нужно что-то делать)
И действительно, ребята, попадающим в цель может стать только тот, кто настраивает себя на собранность и организованность своих действий.
И вот я надеюсь, что мы с вами на уроке достигнем своей цели.
Начнем наш путь к достижению цели сегодняшнего урока.
3. Подготовительная работа.
Посмотрите на экран. Что вы видите? (Геометрические фигуры)
Назовите эти фигуры.
Какое задание, вы можете предложить своим одноклассникам? (разделите фигуры на группы)
У вас на партах лежат карточки с этими фигурами. Выполните это задание в парах.
По какому признаку вы разделили эти фигуры?
С какими фигурами мы уже работали? Что учились находить у них? Какие фигуры встречаются нам на геометрии впервые?
Какая же тема нашего урока? (Учитель добавляет слова на доске: объёмные, на доске появляется тема урока: Объёмные геометрические фигуры.)
Чему мы должны научиться на уроке?
4. «Открытие» нового знания в практической исследовательской работе.
(Учитель показывает куб и квадрат.
)
Чем они похожи?
Можно ли сказать, что это одно и тоже?
Чем же отличается куб от квадрата?
Давайте проведём опыт. (Ученики получают индивидуальные фигуры – куб и квадрат.)
Попробуем приложить квадрат к плоской поверхности порты. Что видим? Он весь (целиком) лёг на поверхность парты? Вплотную?
! Как назовём фигуру, которую можно целиком расположить на одной плоской поверхности? (Плоской фигурой.)
Можно ли куб полностью (весь) прижать к парте? Проверим.
Можно ли назвать куб плоской фигурой? Почему? Есть ли пространство между рукой и партой?
! Значит, что мы можем сказать о кубе? (Занимает определённое пространство, является объёмной фигурой.)
ВЫВОДЫ: Чем же отличаются плоские и объёмные фигуры? (Учитель вывешивает на доске выводы.)
ОБЪЁМНЫЕ
Объёмные фигуры: пирамида, куб, цилиндр, конус, шар, параллелепипед.
4. Открытие новых знаний.
1. Назовите фигуры, изображенные на рисунке.
Какую форму имеют основания этих фигур?
Какие еще формы можно увидеть на поверхности куба и призмы?
2. Фигуры и линии на поверхности объемных фигур имеют свои названия.
Предложите свои названия.
Боковые стороны, образующие плоскую фигуру называются гранями. А боковые линии – рёбра. Углы многоугольников – вершины. Это элементы объемных фигур.
Ребята, а как вы думаете, как называются такие объемные фигуры, у которых много граней? Многогранники.
Работа с тетрадями: чтение нового материала
Соотнесение реальных объектов и объёмных тел.
А теперь подберите для каждого предмета ту объёмную фигуру, на которую он похож.
Коробка – параллелепипед.
5. Физминутка.
1. Представьте себе большой шар, погладьте его со всех сторон. Он большой, гладкий.
(Ученики «обхватывают» руками и гладят воображаемый шар.)
А теперь представьте себе конус, дотроньтесь до его вершины. Конус растёт вверх, вот он уже выше вас. Допрыгните до его вершины.
Представьте, что вы внутри цилиндра, похлопайте по его верхнему основанию, потопайте по нижнему, а теперь руками по боковой поверхности.
Цилиндр стал маленькой подарочной коробочкой. Представьте, что вы сюрприз, который находится в этой коробочке. Я нажимаю кнопку и… сюрприз выскакивает из коробочки!
6. Групповая работа :
(Каждая группа получает одну из фигур: куб, пирамиду, параллелепипед.Полученную фигуру дети изучают, выводы записывают в подготовленную учителем карточку .)
Группа 1. (Для изучения параллелепипеда)
Группа 2.
(Для изучения пирамиды)
Группа 3. (Для изучения куба)
7. Решение кроссворда
8. Итог урока. Рефлексия деятельности.
Решение кроссворда в презентации
Что нового вы для себя сегодня открыли?
Все геометрические фигуры можно разделить на объёмные и плоские.
А я узнал названия объёмных фигур
Геометрические фигуры
Геометрические фигуры – это совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и формирует конечное количество линий.
Термин «фигура» в какой-то степени формально применяется к множеству точек, но как правило фигурой принято называть такие множества, которые расположенные на плоскости и ограничиваются конечным числом линий.
Точка и прямая — это основные геометрические фигуры, расположенные на плоскости.
К самым простым геометрическим фигурам на плоскости принадлежат — отрезок, луч и ломаная линия.
Геометрия – это такая математическая наука, которая занимается изучением свойств геометрических фигур. Если дословно перевести на русский язык термин «геометрия», то он обозначает «землемерие», так как в стародавние времена основной задачей геометрии, как науки, стало измерение расстояний и площадей на поверхности земли.
Практическое применение геометрии бесценно во все времена и независимо от профессии. Без знаний геометрии не может обойтись ни рабочий, ни инженер, ни архитектор и даже художник.
В геометрии есть такой раздел, который занимается изучением различных фигур на плоскости и называется планиметрия.
Вам уже известно, что фигурой называют произвольное множество точек, находящиеся на плоскости.
К геометрическим фигурам принадлежат: точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, квадрат, круг и другие фигуры, которые изучает планиметрия.
Из выше изученного материала вам уже известно, что точка относится к главным геометрическим фигурам.
И хотя это самая малая геометрическая фигура, но она необходима для построения других фигур на плоскости, чертеже или изображении и является основой для всех остальных построений. Ведь построение более сложноватых геометрических фигур складывается из множества точек, характерных для данной фигуры.
В геометрии точки обозначают прописными буквами латинского алфавита, например, такими, как: А, В, С, D ….
А теперь подведем итог, и так, с математической точки зрения, точка является таким абстрактным объектом в пространстве, который не имеет объема, площади, длины и других характеристик, но остается одним из фундаментальных понятий в математике. Точка – это такой нульмерный объект, которые не имеет определения. По определению Евклида, точкой называют то, что невозможно определить.
Как и точка, прямая относится к фигурам на плоскости, которая не имеет определения, так как состоит из бесконечного множества точек, находящихся на одной линии, которая не имеет ни начала ни конца.
Можно утверждать, что прямая линия бесконечна и не имеет предела.
Если же прямая начинается и заканчивается точкой, то она уже не является прямой и называется отрезком.
Но иногда прямая, с одной стороны имеет точку, а с другой нет. В таком случае прямая превращается в луч.
Если же взять прямую и на ее средине поставить точку, то она разобьет прямую на два противоположно направленных луча. Данные лучи являются дополнительными.
Если же перед вами несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка становиться началом второго, а конец второго отрезка — началом третьего и т. д., и эти отрезки находятся не на одной прямой и при соединении имеют общую точку, то такая цепочка является ломаной линией.
Задание
Какая ломаная линия называется незамкнутой?
Как обозначается прямая?
Как называется ломаная линия, у которой четыре замкнутых звена?
Какое название имеет ломаная линия с тремя замкнутыми звеньями?
Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го отрезка, то такую ломаную линию называют замкнутой.
Примером замкнутой ломаной является любой многоугольник.
Как точка и прямая, так и плоскость является первичным понятием, не имеет определения и у нее нельзя увидеть ни начала, ни конца. Поэтому, при рассмотрении плоскости, мы рассматриваем только ту ее часть, которая ограничивается замкнутой ломаной линией. Таким образом, плоскостью можно считать любую гладкую поверхность. Этой поверхностью может быть лист бумаги или стола.
Фигура, которая имеет два луча и вершину, называется углом. Место соединения лучей, является вершиной этого угла, а его сторонами считаются лучи, которые этот угол образуют.
Задание:
1. Как в тексте обозначают угол?
2. Какими единицами можно измерить угол?
3. Какие бывают углы?
Параллелограмм — это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.
Прямоугольник, квадрат и ромб являются частными случаями параллелограмма.
Параллелограмм, имеющий прямые углы равные 90 градусам, является прямоугольником.
Квадрат — это тот же параллелограмм, у него и углы и стороны равны.
Что до определения ромба, то это такая геометрическая фигура, все стороны которого равны.
Кроме того, следует знать, что любой квадрат является ромбом, но не каждый ромб может быть квадратом.
При рассмотрении такой геометрической фигуры, как трапеция, можно сказать, что в частности она, как и четырехугольник имеет одну пару параллельных противолежащих сторон и является криволинейной.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Также к простым геометрическим фигурам принадлежит и уже изучаемый вами треугольник. Это один из видов многоугольников, у которого часть плоскости ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые соединяют эти точки попарно.
Любой треугольник имеет три вершины и три стороны.
Задание: Какой треугольник называют вырожденным?
К многоугольникам относятся геометрические фигуры разных форм, у которых замкнутая ломаная линия.
В многоугольнике все точки, которые соединяют отрезки, являются его вершинами. А отрезки, из которых состоит многоугольник, являются его сторонами.
А известно ли вам, что возникновение геометрии уходит в глубину веков и связано с развитием различных ремесел, культуры, искусства и наблюдением за окружающим миром. Да и название геометрических фигур является тому подтверждением, так как их термины, возникли не просто так, а благодаря своей схожести и подобию.
Ведь термин «трапеция» в переводе с древнегреческого языка от слова «трапезион» обозначает столик, трапеза и другие производные слова.
«Конус» произошел от греческого слова «конос», что в переводе звучит, как сосновая шишка.
«Линия» имеет латинские корни и происходит от слова «линум», в переводе это звучит, как льняная нить.
А знаете ли вы, что если взять геометрические фигуры с одинаковым периметром, то среди них обладателем самой большой площади оказался круг.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
Введение
Геометрия — одна из важнейших компонент математического образования, необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, а также для эстетического воспитания. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, формирование навыков доказательства.
В курсе геометрии 7 класса систематизируются знания о простейших геометрических фигурах и их свойствах; вводится понятие равенства фигур; вырабатывается умение доказывать равенство треугольников с помощью изученных признаков; вводится класс задач на построение с помощью циркуля и линейки; вводится одно из важнейших понятий — понятие о параллельных прямых; рассматриваются новые интересные и важные свойства треугольников; рассматривается одна из важнейших теорем в геометрии — теорема о сумме углов треугольника, которая позволяет дать классификацию треугольников по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).
На протяжении занятий, особенно при переходе от одной части занятия к другой, смене деятельности встает вопрос о поддержании интереса к занятиям. Таким образом, актуальным становится вопрос о применении на занятиях по геометрии задач, в которых есть условие проблемной ситуации и элементы творчества . Таким образом, целью данного исследования является систематизация заданий геометрического содержания с элементами творчества и проблемных ситуаций.
Объект исследования : Задачи по геометрии с элементами творчества, занимательности и проблемных ситуаций.
Задачи исследования: Проанализировать существующие задачи по геометрии, направленные на развитие логики, воображения и творческого мышления. Показать, как занимательными приемами можно развить интерес к предмету.
Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в том, что собранный материал может быть использован в процессе дополнительных занятий по геометрии, а именно на олимпиадах и конкурсах по геометрии.
Объем и структура исследования:
Исследование состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, содержит 14 страниц основного машинописного текста, 1 таблицу, 10 рисунков.
Глава 1. ПЛОСКИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. Основные геометрические фигуры в архитектуре зданий и сооружений
В окружающем нас мире существует множество материальных предметов разных форм и размеров: жилые дома, детали машин, книги, украшения, игрушки и т. д.
В геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура, при этом разделяя геометрические фигуры на плоские и пространственные. В данной работе будет рассмотрен один из интереснейших разделов геометрии — планиметрия, в которой рассматриваются только плоские фигуры. Планиметрия (от лат. planum — «плоскость», др.-греч. μετρεω — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.
Плоской геометрической фигурой называется такая, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт любой рисунок, сделанный на листе бумаги.
Но прежде, чем рассматривать плоские фигуры, необходимо познакомиться с простыми, но очень важными фигурами, без которых плоские фигуры просто не могут существовать.
Самой простой геометрической фигурой является точка. Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка — это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии.
Прямая — одно из фундаментальных понятий геометрии.При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии (евклидовой).
Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить, как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.
Прямые в пространстве могут занимать различные положения, рассмотрим некоторые из них и приведем примеры, встречающиеся в архитектурном облике зданий и сооружений (табл. 1):
Таблица 1
Параллельные прямые | Свойства параллельных прямых | |
Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны: | Ессентуки, здание грязелечебницы (фото автора) | |
Пересекающиеся прямые | Свойства пересекающихся прямых | Примеры в архитектуре зданий и сооружений |
Пересекающиеся прямые имеют общую точку, то есть точки пересечения их одноименных проекций лежат на общей линии связи: | Здания «горы» на Тайване https://www. | |
Скрещивающиеся прямые | Свойства скрещивающихся прямых | Примеры в архитектуре зданий и сооружений |
Прямые, не лежащие в одной плоскости и не параллельные между собой, являются скрещивающимися. Ноне является общей линией связи. Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скрещивающиеся прямые лежат в двух параллельных плоскостях. | Робер, Гюбер — Вилла Мадама под Римом https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287 |
1.2. Плоские геометрические фигуры. Свойства и определения
Наблюдая за формами растений и животных, гор и извилинами рек, за особенностями ландшафта и далекими планетами, человек заимствовал у природы ее правильные формы, размеры и свойства.
Материальные потребности побуждали человека строить жилища, изготавливать орудия труда и охоты, лепить из глины посуду и прочее. Все это постепенно способствовало тому, что человек пришел к осознанию основных геометрических понятий.
Четырехугольники:
Параллелограмм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — черта, линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Признаки параллелограмма:
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий: 1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник — параллелограмм. 2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Трапеция— это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.
Треугольник — это простейшая геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника , а отрезки — сторонами треугольника. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют свойства треугольников. Так возникла наука тригонометрия — наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.
Правда, верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу.
Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Вот одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру:
Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенное в XY-XIX веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все.
Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как замкнутая ломаная.
Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку.
Существует большое количество геометрических фигур, все они отличаются параметрами и свойствами, порой удивляя своими формами.
Чтобы лучше запомнить и отличать плоские фигуры по свойствам и признакам, я придумал геометрическую сказку, которую хотел бы представит вашему вниманию в следующем параграфе.
Глава 2. ЗАДАЧИ-ГОЛОВОЛОМКИ ИЗ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
2.1.Головоломки на построение сложной фигуры из набора плоских геометрических элементов.
Изучив плоские фигуры, я задумался, а существуют какие-нибудь интересные задачи с плоскими фигурами, которые можно использовать в качестве заданий-игр или заданий-головоломок. И первой задачей, которую я нашел, была головоломка «Танграм».
Это китайская головоломка. В Китае ее называют «чи тао ту», т.е умственная головоломка из семи частей. В Европе название «Танграм» возникло, вероятнее всего, от слова «тань», что означает «китаец» и корня «грамма» (греч. — «буква»).
Для начала необходимо начертить квадрат 10 х10 и разделить его на семь частей: пять треугольников 1-5 , квадрат 6 и параллелограмм 7 . Суть головоломки состоит в том, чтобы, используя все семь частей, сложить фигурки, показанные на рис.3.
Рис.3. Элементы игры «Танграм» и геометрические фигуры
Рис.
4. Задания «Танграм»
Особенно интересно составлять из плоских фигур «образные» многоугольники, зная лишь очертания предметов (рис.4). Несколько таких заданий-очертаний я придумал сам и показал эти задания своим одноклассникам, которые с удовольствием принялись разгадывать задания и составили много интересных фигур-многогранников, похожих на очертания предметов окружающего нас мира.
Для развития воображения можно использовать и такие формы занимательных головоломок, как задачи на разрезание и воспроизведение заданных фигур.
Пример 2. Задачи на разрезание (паркетирование) могут показаться, на первый взгляд, весьма многообразными. Однако в большинстве в них используется всего лишь несколько основных типов разрезаний (как правило, те, с помощью которых из одного параллелограмма можно получить другой).
Рассмотрим некоторые приёмы разрезаний. При этом разрезанные фигуры будем называть многоугольниками.
Рис. 5. Приёмы разрезаний
На рис.
5 представлены геометрические фигуры, из которых можно собрать различные орнаментальные композиции и составить орнамент своими руками.
Пример 3. Еще одна интересная задача, которую можно самостоятельно придумать и обмениваться с другими учениками, при этом кто больше соберет разрезанные фигуры, тот объявляется победителем. Задач такого типа может быть достаточно много. Для кодирования можно взять все существующие геометрические фигуры, которые разрезаются на три или четыре части.
Рис.6.Примеры задач на разрезание:
—— — воссозданный квадрат; — разрез ножницами;
Основная фигура
2.2.Равновеликие и равносоставленные фигуры
Рассмотрим еще один интересный прием на разрезание плоских фигур, где основными «героями» разрезаний будут многоугольники. При вычислении площадей многоугольников используется простой прием, называемый методом разбиения.
Вообще многоугольники называются равносоставленными, если, определенным образом разрезав многоугольник F на конечное число частей, можно, располагая эти части иначе, составить из них многоугольник Н.
Отсюда вытекает следующая теорема: равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь, поэтому они будут считаться равновеликими.
На примере равносоставленных многоугольников можно рассмотреть и такое интересное разрезание, как преобразование «греческого креста» в квадрат (рис.7).
Рис.7. Преобразование «греческого креста»
В случае мозаики (паркета), составленной из греческих крестов, параллелограмм периодов представляет собой квадрат. Мы можем решить задачу, накладывая мозаику, составленную из квадратов, на мозаику, образованную с помощью крестов, так, чтобы при этом конгруэнтные точки одной мозаики совпали с конгруэнтными точками другой (рис.8).
На рисунке конгруэнтные точки мозаики из крестов, а именно центры крестов, совпадают с конгруэнтными точками «квадратной» мозаики — вершинами квадратов. Параллельно сдвинув квадратную мозаику, мы всегда получим решение задачи. Причем, задача имеет несколько вариантов решений, если при составлении орнамента паркета используется цвет.
Рис.8. Паркет, собранный из греческого креста
Еще один пример равносоставленных фигур можно рассмотреть на примере параллелограмма. Например, параллелограмм равносоставлен с прямоугольником (рис.9).
Этот пример иллюстрирует метод разбиения, состоящий в том, что для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей можно было составить более простой многоугольник, площадь которого нам уже известна.
Например, треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту. Из этого положения легко выводится формула площади треугольника.
Отметим, что для приведенной выше теоремы справедлива и обратная теорема: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены.
Эту теорему, доказанную в первой половине XIX в. венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким офицером и любителем математики П.Гервином, можно представить и в таком виде: если имеется торт в форме многоугольника и многоугольная коробка, совершенно другой формы, но той же площади, то можно так разрезать торт на конечное число кусков (не переворачивая их кремом вниз), что их удастся уложить в эту коробку.
Заключение
В заключении отмечу, что задач на плоские фигуры достаточно представлено в различных источниках, но интерес представили для меня те, на основании которых мне пришлось придумывать свои задачи-головоломки.
Ведь решая такие задачи, можно не просто накопить жизненный опыт, но и приобрести новые знания и умения.
В головоломках при построении действий-ходов используя повороты, сдвиги, переносы на плоскости или их композиции, у меня получились самостоятельно созданные новые образы, например, фигурки-многогранники из игры «Танграм».
Известно, что основным критерием подвижности мышления человека является способность путём воссоздающего и творческого воображения выполнить в установленный отрезок времени определенные действия, а в нашем случае — ходы фигур на плоскости. Поэтому изучение математики и, в частности, геометрии в школе даст мне еще больше знаний, чтобы в дальнейшем применить их в своей будущей профессиональной деятельности.
Библиографический список
1.
Павлова, Л.В. Нетрадиционные подходы к обучению черчению: учебное пособие/ Л.В. Павлова. — Нижний Новгород: Изд-во НГТУ, 2002. — 73 с.
2. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с.
3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053
Приложение 1
Анкета-опросник для одноклассников
1. Знаете ли вы, что такое головоломка «Танграм»?
2. Что такое «греческий крест»?
3. Было бы вам интересно узнать, что такое «Танграм»?
4. Было бы вам интересно узнать, что такое «греческий крест»?
Было опрошено 22 ученика 8 класса. Результаты: 22 ученика не знают, что такое «Танграм» и «греческий крест». 20-ти ученикам было бы интересно узнать о том, как с помощью головоломки «Танграм», состоящая из семи плоских фигур, получить более сложную фигуру. Результаты опроса обобщены на диаграмме.
Приложение 2
Элементы игры «Танграм» и геометрические фигуры
Преобразование «греческого креста»
Существует бесконечное множество форм. Формой называют внешнее очертание предмета.
Изучение форм можно начинать с самого раннего детства, обращая внимание своего ребенка на окружающий нас мир, который состоит из фигур (тарелка – круглая, телевизор – прямоугольный).
Уже с двух лет малыш должен знать три простые фигуры – круг, квадрат, треугольник. Сначала он их должен просто показывать, когда вы это просите. А в три года уже называть их самостоятельно и отличать круг от овала, квадрат от прямоугольника.
Чем больше упражнений на закрепление форм будет выполнено ребенком, тем больше новых фигур он запомнит.
Будущий первоклашка должен знать все простые геометрические фигуры и уметь составлять из них аппликации.
Геометрическая фигура — это эталон, с помощью которого можно определить форму предмета или его частей.
Фигуры разделяют на две группы: плоские фигуры, объемные фигуры.
Плоскими фигурами мы назовем те фигуры, которые расположены в одной плоскости. К ним относятся круг, овал, треугольник, четырёхугольник (прямоугольник, квадрат, трапеция, ромб, параллелограмм) и всевозможные многоугольники.
К объемным фигурам относят: сфера, куб, цилиндр, конус, пирамида. Это те фигуры, которые имеют высоту, ширину и глубину.
Следуйте двум простым советам при объяснении геометрических фигур:
В отличие от двумерных фигур трехмерные фигуры имеют толщину или глубину.
Атрибутами трехмерной фигуры являются грани, ребра и вершины.Три измерения составляют края трехмерной геометрической формы.
Куб, прямоугольная призма, сфера, конус и цилиндр — основные трехмерные формы, которые мы видим вокруг себя.
Мы можем видеть кубик в кубике Рубика и кубике, прямоугольную призму в книге и коробке, сферу в глобусе и шаре, рожок в морковке и рожке мороженого и цилиндр в ведерке и бочка, вокруг нас.
Вот список трехмерных или трехмерных фигур с их названиями, изображениями и атрибутами.
| Имя 3D-формы : | Изображение трехмерной формы : | Атрибуты : |
| Куб | Граней — 6 Ребер — 12 Вершин — 8 | |
| Прямоугольная призма или параллелепипед | Граней — 6 Ребер — 12 Вершин — 8 | |
| Сфера | Изогнутая грань — 1 Ребра — 0 Вершины — 0 | |
| Конус | Плоская грань — 1 Изогнутая грань — 1 Ребра — 1 Вершины — 1 | |
| Цилиндр | Плоская грань — 2 Изогнутая грань — 1 Ребра — 2 Вершины — 0 |
Интересные факты
|
3D-формы толстые, а не плоские.
Найди шишку в праздничной шапке!
Ты видишь сферу в баскетбольном мяче,
И прямоугольный параллелепипед в таком высоком здании!
Вы видите куб в кости, которую вы бросаете,
И цилиндр в блестящем флагштоке!
Вместо того чтобы показывать детям и детсадовцам видеоролики о трехмерных фигурах, попросите их понаблюдать и найти вокруг себя предметы, в которых они могут найти трехмерные фигуры.
Вы также можете попросить их идентифицировать и отсортировать трехмерную форму и ее атрибуты.
На этой странице рассматриваются свойства трехмерных или «твердых» форм.
Двумерная фигура имеет длину и ширину. Трехмерная твердая форма также имеет глубину.
Трехмерные формы по своей природе имеют внутреннее и внешнее, разделенные поверхностью.Все физические предметы, к которым можно прикоснуться, трехмерны.
На этой странице рассматриваются как прямолинейные тела, называемые многогранниками, которые основаны на многоугольниках, так и тела с кривыми, такие как шары, цилиндры и конусы.
Многогранники (или многогранники) представляют собой твердые фигуры с прямыми сторонами. Многогранники основаны на многоугольниках, двумерных плоских формах с прямыми линиями.
Подробнее о работе с полигонами см. на нашей странице Свойства полигонов.
Многогранники определяются как имеющие:
Многогранники также часто определяются по количеству ребер, граней и вершин, которые они имеют, а также по тому, имеют ли их грани одинаковую форму и размер.
Как и многоугольники, многогранники могут быть правильными (на основе правильных многоугольников) или неправильными (на основе неправильных многоугольников).Многогранники также могут быть вогнутыми или выпуклыми.
Одним из самых простых и знакомых многогранников является куб. Куб — это правильный многогранник, имеющий шесть квадратных граней, 12 ребер и восемь вершин.
Пять правильных многогранников представляют собой особый класс многогранников, все грани которых идентичны, причем каждая грань является правильным многоугольником. Платоновых тел:
См. рисунок выше для иллюстрации каждого из этих правильных многогранников.
Призма — это любой многогранник, имеющий два совпадающих конца и плоские стороны .Если вы разрежете призму в любом месте по ее длине, параллельно ее концу, ее поперечное сечение будет таким же — вы получите две призмы. Стороны призмы параллелограмма — четырехгранные фигуры с двумя парами сторон одинаковой длины.
Антипризмы аналогичны обычным призмам тем, что их концы совпадают. Однако стороны антипризмы состоят из треугольников, а не из параллелограммов. Антипризмы могут стать очень сложными.
Пирамида — это многогранник с многоугольниками в основании , который соединяется с вершиной (верхняя точка) с прямыми сторонами.
Хотя мы склонны думать о пирамидах с квадратным основанием, вроде тех, что строили древние египтяне, на самом деле они могут иметь основание в виде любого многоугольника, правильного или неправильного.
Кроме того, пирамида может иметь вершину прямо в центре своего основания, Прямоугольная пирамида , или может иметь вершину вне центра, когда это Наклонная пирамида .
Существует еще много видов многогранников: симметричные и несимметричные, вогнутые и выпуклые.
Архимедовы тела, например , состоят как минимум из двух разных правильных многоугольников.
Усеченный куб (как показано на рисунке) представляет собой архимедово тело с 14 гранями. Шесть граней представляют собой правильные восьмиугольники, а остальные восемь — правильные (равносторонние) треугольники. Фигура имеет 36 ребер и 24 вершины (угла).
Твердые фигуры с изогнутыми или круглыми краями не являются многогранниками.Многогранники могут иметь только прямые стороны. Также см. нашу страницу о двумерных изогнутых формах.
Многие объекты вокруг вас будут иметь по крайней мере несколько кривых.
В геометрии наиболее распространенными искривленными телами являются цилиндры, конусы, сферы и торы (множественное число для тора).
| Общие трехмерные формы с кривыми: | |
|---|---|
| Цилиндр | Конус |
| Цилиндр имеет одинаковое поперечное сечение от одного конца до другого.Цилиндры имеют два одинаковых конца либо круга, либо овала. Несмотря на то, что они похожи, цилиндры не являются призмами, поскольку призма имеет (по определению) параллелограмм с плоскими сторонами. | Конус имеет круглое или овальное основание и вершину (или вершину). Сторона конуса плавно сужается к вершине. Конус похож на пирамиду, но отличается тем, что конус имеет одну изогнутую сторону и круглое основание. |
| Сфера | Тор |
Сфера, имеющая форму шара или шара, представляет собой полностью круглый объект. Каждая точка на поверхности сферы находится на равном расстоянии от центра сферы. | Правильный кольцевой тор, имеющий форму кольца, шины или бублика, образован вращением меньшего круга вокруг большего круга. Существуют и более сложные формы торов. |
На нашей странице, посвященной расчету площади, объясняется, как вычислить площадь двухмерных фигур, и вам необходимо понимать эти основы, чтобы вычислять площадь поверхности трехмерных фигур.
Для трехмерных фигур мы говорим о площади поверхности , чтобы избежать путаницы.
Вы можете использовать свои знания о площади двухмерных фигур для вычисления площади поверхности трехмерной фигуры, поскольку каждая грань или сторона фактически является двумерной фигурой.
Таким образом, вы вычисляете площадь каждой грани, а затем складываете их вместе.
Как и в случае с плоскими формами, площадь поверхности твердого тела выражается в квадратных единицах: см 2 , дюймы 2 , м 2 и так далее.
Вы можете найти более подробную информацию о единицах измерения на нашей странице Системы измерения .
Площадь поверхности куба равна площади одной грани (длина х ширина), умноженной на 6, поскольку все шесть граней одинаковы.
Поскольку грань куба представляет собой квадрат, вам нужно выполнить только одно измерение — длина и ширина квадрата по определению одинаковы.
Следовательно, одна грань этого куба равна 10 × 10 см = 100 см 2 .Умножаем на 6 количество граней куба, и получаем, что площадь поверхности этого куба равна 600см 2 .
Точно так же площадь поверхности других правильных многогранников (платоновых тел) можно вычислить, найдя площадь одной стороны и затем умножив результат на общее количество сторон — см. диаграмму основных многогранников выше.
Если площадь одного пятиугольника, составляющего додекаэдр, равна 22см 2 , то умножьте это на общее количество сторон (12), чтобы получить ответ 264см 2 .
Для расчета площади поверхности стандартной пирамиды с четырьмя равными треугольными сторонами и квадратным основанием:
Сначала определите площадь основания (квадрата) длина × ширина.
Далее определите площадь одной стороны (треугольника). Измерьте ширину вдоль основания, а затем высоту треугольника (также известную как наклонная длина) от центральной точки основания до вершины.
Есть два способа вычислить площадь поверхности четырех треугольников:
Разделите ответ на 2, чтобы получить площадь поверхности одного треугольника, а затем умножьте на 4, чтобы получить площадь поверхности всех четырех сторон, или
Умножьте свой ответ на 2.
Наконец, сложите площадь основания и сторон вместе, чтобы найти общую площадь поверхности пирамиды.
Чтобы вычислить площади поверхности других типов пирамид, сложите площадь основания (известную как площадь основания) и площадь сторон (боковая площадь).
Возможно, вам придется измерить стороны по отдельности.
Диаграммы цепей
Геометрическая сеть — это двухмерный «шаблон» для трехмерного объекта. Сети могут быть полезны при расчете площади поверхности трехмерного объекта.На диаграмме ниже вы можете увидеть, как строятся базовые пирамиды, если пирамида «развернута», у вас остается сеть.
Подробнее о схемах цепей см. на нашей странице 3D-фигуры и сети .
Для расчета площади поверхности призмы :
Призмы имеют два одинаковых конца и плоские стороны в виде параллелограмма.
Вычислите площадь одного конца и умножьте на 2.
Для правильной призмы (у которой все стороны одинаковы) вычислите площадь одной из сторон и умножьте на общее количество сторон.
Для призм неправильной формы (с разными сторонами) рассчитайте площадь каждой стороны.
Сложите два ответа вместе (концы + стороны), чтобы найти общую площадь поверхности призмы.
Пример:
Радиус = 5 см
Высота = 10 см
Чтобы вычислить площадь поверхности цилиндра , полезно подумать о составных частях формы. Представьте себе банку сладкой кукурузы — у нее есть верх и низ, оба из которых представляют собой круги.Если вы отрежете сторону по длине и сгладите ее, у вас получится прямоугольник. Следовательно, вам нужно найти площадь двух кругов и прямоугольника.
Сначала определите площадь одного из кругов.
Площадь круга равна π (пи) × радиус 2 .
При радиусе 5 см площадь одного из кругов равна 3,14 × 5 2 = 78,5 см 2 .
Умножьте ответ на 2, так как кругов два 157см 2
Площадь стороны цилиндра равна периметру окружности × высоте цилиндра.
Периметр равен π x 2 × радиус. В нашем примере 3,14 × 2 × 5 = 31,4
Измерьте высоту цилиндра. В данном примере высота равна 10 см. Площадь стороны 31,4 × 10 = 314см 2 .
Общая площадь поверхности может быть найдена путем сложения площади кругов и стороны вместе:
157 + 314 = 471см 2
Пример:
Радиус = 5 см
Длина наклона = 10 см
При расчете площади поверхности конуса необходимо использовать длину «наклона», а также радиус основания.
Однако вычислить его относительно просто:
Площадь круга в основании конуса составляет π (пи) × радиус 2 .
В этом примере расчет равен 3,14 × 5 2 = 3,14 × 25 = 78,5 см 2
Площадь стороны, наклонного сечения, можно найти по этой формуле:
π (пи) × радиус × длина наклона.
В нашем примере вычисление 3,14 × 5 × 10 = 157см 2 .
Наконец, добавьте площадь основания к площади боковой поверхности, чтобы получить общую площадь поверхности конуса.
78,5 + 157 = 235,5 см 2
Теннисный мяч:
Диаметр = 2,6 дюйма
площадь поверхности сферы является относительно простым расширением формулы для площади круга.
4 × π × радиус 2 .
Для сферы часто проще измерить диаметр — расстояние поперек сферы.Затем вы можете найти радиус, который составляет половину диаметра.
Диаметр стандартного теннисного мяча составляет 2,6 дюйма. Таким образом, радиус составляет 1,3 дюйма. Для формулы нам нужен радиус в квадрате. 1,3 × 1,3 = 1,69
Площадь поверхности теннисного мяча равна:
4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 дюйма 2 .
Пример:
R (большой радиус) = 20 см
r (малый радиус) = 4 см
Чтобы вычислить площадь поверхности тора , вам нужно найти два значения радиуса.
Большой или большой радиус (R) измеряется от середины отверстия до середины кольца.
Малый или малый радиус (r) измеряется от середины кольца до внешнего края.
На диаграмме показаны два вида примера тора и способы измерения его радиусов (или радиусов).
Расчет площади поверхности состоит из двух частей (по одной для каждого радиуса).
Расчет одинаков для каждой части.
Формула: площадь поверхности = (2πR)(2πr)
Чтобы вычислить площадь поверхности примера тора.
(2 × π × R) = (2 × 3,14 × 20) = 125,6
(2 × π × r) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12
Перемножьте два ответа вместе, чтобы найти общую площадь поверхности тора в примере.
125,6 × 25,12 = 3155,072 см 2 .
Дополнительное чтение из навыков, которые вам нужны
Понимание геометрии
Часть руководства по необходимым навыкам счета
В этой электронной книге рассматриваются основы геометрии и рассматриваются свойства фигур, линий и тел.Эти концепции построены в книге, с примерами работы и возможностями для вас, чтобы попрактиковаться в ваших новых навыках.
Если вы хотите освежить свои знания или помочь своим детям в обучении, эта книга для вас.
При работе с трехмерными фигурами вам также может понадобиться знать, сколько объем они имеют.
Другими словами, если бы вы наполнили их водой или воздухом, сколько наполнения вам потребуется?
Это описано на нашей странице Расчет объема .
В главе 6 «Трехмерные измерения и приложения» учащиеся выводят, описывают и используют формулы площади и длины окружности, а также объема и площади поверхности трехмерных фигур. Кроме того, учащиеся определяют двухмерные формы, которые при вращении вокруг оси образуют определенную трехмерную фигуру, определяют сечения трехмерных фигур и анализируют ситуации моделирования.
В этом разделе учащиеся опираются на свое прежнее понимание кругов, объема и площади поверхности, которое они приобрели в начальной и средней школе, чтобы расширить свои рассуждения на моделирование ситуаций, анализ формул и более глубокое концептуальное понимание. Основное базовое содержание, которое учащиеся должны иметь до начала этого раздела, — это знание формул площади и длины окружности круга с седьмого класса; знание формул объема конуса, цилиндра и сферы с восьмого класса; и используя теорему Пифагора из восьмого класса и Раздела 4.
Модуль начинается с Темы A, Площадь и длина окружности, где учащиеся освежают свое понимание площади и длины окружности для решения задач. Если учащиеся владеют этими навыками, первые три урока могут быть пропущены или объединены. В Теме B, Трехмерные концепции и общий объем, учащиеся опираются на свое понимание двухмерных фигур, чтобы развить понимание трехмерных измерений и размеров посредством вращения двухмерных фигур вокруг оси, срезов и объема.Тема C, принцип Кавальери, сферы и составной объем, исследует принцип Кавальери с целью сравнения объемов наклонных и прямых фигур и разработки основ формулы объема сферы, используемой в геометрии восьмого класса. Тема C также предлагает учащимся найти объем нестандартных трехмерных фигур путем сложения или вычитания объемов известных фигур. Блок завершается Темой D, Площадь поверхности, Масштабирование и Моделирование с помощью геометрии, которая фокусируется на моделировании ситуаций, требующих использования объема, площади поверхности, плотности, скоростей и преобразования единиц измерения.
Студенты должны составить общие планы решения задач, определить измерения и формулы, необходимые для выполнения этих планов, оценить планы и определить окончательное решение. Использование соответствующего измерения необходимо для оценки в этой теме блока.
Материал из этого раздела является основой для приложений в Алгебре II и телах вращения благодаря интеграции в исчисление.
Темп: 20 учебных дней (18 уроков, 1 гибкий день, 1 контрольный день)
Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент
средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.
Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т.
д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы
либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105
Или заполните форму ниже:
«В нашем математическом отделении мы говорили о геометрии и потратили много времени на двухмерные фигуры.
Сегодня я буду читать книгу одного из моих любимых авторов: Стюарта Дж. Мерфи. Он написал много книг по математике для детей. Книга, которую я держу, называется « Капитан Непобедимый и космические формы». Я хочу, чтобы вы обратили особое внимание на фигуры в книге, которые Капитан Непобедимый использует во время своего путешествия. Чем они похожи и чем отличаются от форм, о которых мы говорили пару дней назад?» После прочтения книги обсудите книгу, двухмерные и трехмерные формы.
Возможные вопросы для обсуждения двумерных и трехмерных форм включают
«Я положу эту книгу в нашу классную библиотеку, чтобы вы могли ее перечитать, если хотите.
Давай поговорим обо всех формах, которые мы видели в книге».
Говоря о формах, которые были в книге, покажите трехмерную модель этой формы. Он может быть изготовлен из дерева, пластика, пенопласта или бумаги (M-1-4-3_3D Shape Nets.docx). Не забудьте положить рядом с каждой фигурой карточку с ее названием. Запишите названия фигур на листе бумаги (M-1-4-3_3D Имена форм на бумаге.docx).
Приготовьтесь к игре Что в моей сумке? подготовив сумку с заточенным карандашом, цилиндром и конусом внутри.
«Сейчас мы поиграем в версию What’s In My Bag? Давайте рассмотрим правила:
Я напишу ответ да или нет во второй колонке.Ладно, поиграем.
Вот пример графика для игры:
Вопросы учащихся | Ответы на вопросы |
1. 2. | 1. 2.
|
Если ученики не понимают, что было в сумке, дайте им подсказки, чтобы посмотреть, смогут ли они понять это за пару минут.
В противном случае покажите их. После того, как учащиеся узнают, что в сумке, спросите:
«Чем похожи заточенный карандаш, конус и цилиндр?»
Вы можете помочь, показав, что заточенный карандаш состоит из конуса и цилиндра. «Когда мы соединяем конус и цилиндр, получается форма остро заточенного карандаша. В нашей среде или в местах, где мы живем, работаем и играем, вещи состоят из трехмерных форм. Некоторые объекты состоят только из одной трехмерной формы, например, коробка.” Покажите коробку и то, что она представляет собой прямоугольную призму. «Другие объекты состоят из двух или более трехмерных фигур, например, мой карандаш. В течение следующих нескольких минут вы будете осматривать комнату и находить как можно больше предметов, состоящих из трехмерных фигур. Запишите то, что вы найдете на этом листе записи». Объясните учащимся лист записи (M-1-4-3_3D Shape Hunt Recording Sheet.docx).
«У вас будет около 5 минут, чтобы осмотреть комнату и записать на бумаге.
Вероятно, у вас не будет времени заполнить все примеры. Когда я подам сигнал, пожалуйста, тихонько вернитесь на свои места на ковре. Дайте учащимся 5 минут, чтобы найти и записать фигуры. После того, как учащиеся соберутся, позвольте нескольким учащимся объяснить один из объектов, перечисленных на их листе для записей, и показать классу трехмерные формы, из которых он состоит. Соберите студенческие работы и в течение следующих нескольких дней поделитесь несколькими примерами из записей, возможно, прямо перед обедом или переменой или во время другого переходного периода, когда у вас будет пара минут.
«Следующие 30 минут вы будете работать на своих математических рабочих станциях. Каждый из вас сегодня поменяет пару станций». Объясните, с какими рабочими станциями сегодня будут работать учащиеся. (Дополнительную информацию о рабочих станциях см. в разделе Extension: Small Group.)
Добавочный номер:
Поместите в сумку трехмерные фигуры и предмет из окружающей среды, сделанный из этих же трехмерных фигур (например,г., конус, цилиндр и заточенный карандаш).Эти рабочие станции также могут использоваться небольшой группой учащихся, которые будут сопровождать вас, чтобы помочь уточнить или оценить понимание учащихся.
Взглянув на параллелизм и перпендикулярность в трех измерениях, мы увидим, что применяются многие из тех же принципов, но при этом добавляется несколько сложностей.
Ключевые термины
o Наклонные линии
o Оси
o Поперечное сечение
Цели
o Распознавать перпендикулярные, параллельные и наклонные линии в трех измерениях
o Уметь представлять простые трехмерные фигуры с помощью двухмерных чертежей
o Знать, что такое поперечное сечение и как его можно использовать для связи двух- и трехмерной геометрии
Объекты в реальной жизни имеют три пространственных измерения, поэтому нам будет полезно понять некоторые фундаментальные аспекты трехмерной геометрии.
Во многих отношениях трехмерная геометрия — это просто расширение двумерной геометрии; применяются многие из тех же принципов. В этой статье мы рассмотрим параллельность и перпендикулярность в трех измерениях, а затем рассмотрим рисование трехмерных фигур на двухмерной поверхности. Наконец, мы кратко рассмотрим поперечные сечения.
Параллелизм и перпендикулярность в трех измерениях
В двух измерениях мы отметили, что любые две непересекающиеся линии параллельны.Вспомним, однако, что мы дали чуть более фундаментальное определение, включающее отношение углов, образованных секущей, пересекающей параллельные прямые. Теперь представьте себе две линии в трех измерениях. В трех измерениях вы, вероятно, легко можете представить две линии, которые на самом деле не параллельны, но и не пересекаются. Пример показан ниже с использованием строк l и m , где одна из строк ( l ) показана «на конце» (то есть входит и выходит из поверхности страницы), так что она выглядит как точка.
Обратите внимание, что две линии не имеют точек пересечения, и тем не менее они не являются тем, что мы бы назвали «параллельными». Это то, что мы называем косыми линиями. Заметьте также, что эти линии, хотя и выглядят в некотором смысле «перпендикулярными», на самом деле таковыми не являются, поскольку не пересекаются. Однако если бы они пересекались, то они действительно были бы перпендикулярны, как показано ниже.
В двумерной (планарной) геометрии для данной точки на линии существует только одна перпендикулярная линия, как показано ниже.
В трехмерной геометрии существует бесконечное число линий, перпендикулярных данной линии. Рассмотрим линию l , которая пересекает плоскость под прямым углом (другими словами, где бы ни измерялся угол вокруг линии по отношению к плоскости, он всегда равен 90°). Мы можем провести бесчисленное количество прямых на плоскости, пересекающих линию l ; поскольку они лежат в плоскости, они пересекают l под прямым углом.
Аналогично, в планарной геометрии существуют только две линии, которые параллельны данной линии на некотором фиксированном расстоянии d , как показано ниже.
В трехмерной геометрии опять-таки существует бесконечное число линий, параллельных данной линии на некотором фиксированном расстоянии d . Представьте себе линию l , еще раз проходящую под прямым углом через плоскость, как показано выше.На этот раз, однако, давайте нарисуем круг с радиусом d на плоскости.
Теперь мы можем провести любое количество прямых, пересекающих окружность и плоскость под прямым углом — эти прямые также параллельны l .
Мы можем определить параллельность и перпендикулярность плоскостей в трех измерениях так же, как мы определили их для линий в двух измерениях. Любые две пересекающиеся плоскости (которые не являются одной и той же плоскостью) образуют линию пересечения; это трехмерный аналог точки пересечения двух линий.
Такое пересечение двух плоскостей показано ниже.
Если две плоскости не пересекаются, то они параллельны. Если угол пересечения равен 90°, то плоскости перпендикулярны. Этот угол пересечения измеряется путем рассмотрения плоскостей «на краю», так что линия пересечения перпендикулярна поверхности этой страницы, как показано ниже. (Обратите внимание, что если смотреть на плоскости с этой точки зрения, они кажутся линиями, а линия пересечения — точкой.)
Таким образом, мы видим, что параллелизм и перпендикулярность в трех измерениях, хотя и имеют сходство с теми же понятиями в двух измерениях, принимают несколько более сложный характер. Тем не менее, расширяя то, что мы уже изучили в двух измерениях, мы можем понять геометрические концепции и в трех измерениях.
Можно задаться вопросом, можно ли расширить геометрию до четырех или более измерений. Ответ — да, но такое усилие становится намного более трудным, потому что у нас нет никакого реального опыта, который помог бы нам представить себе геометрическое пространство с более чем тремя измерениями.
Например, хотя мы легко понимаем понятия вверх-вниз, влево-вправо и вперед-назад (три пространственных измерения), нам очень трудно понять четвертое измерение. Как будет выглядеть такое измерение (или направление)? Такие многомерные геометрии действительно играют важную роль в некоторых областях исследований, но они далеко не так применимы в повседневной жизни, как двух- и трехмерная геометрия.
Практическая задача : Покажите, что две прямые, которые пересекаются секущей, образуя конгруэнтные соответствующие углы, не обязательно параллельны в трехмерной геометрии.
Решение : Эта задача требует от нас критического мышления относительно линий и плоскостей в трех измерениях. Во-первых, давайте начнем с двух прямых, которые будем считать параллельными, и давайте разрежем эти прямые перпендикулярной секущей, как показано ниже.
Теперь рассмотрим поперечную линию n .
Мы знаем, что в трех измерениях существует бесконечное число линий, перпендикулярных n для данной точки пересечения; все эти перпендикулярные линии лежат в одной плоскости.Проведем плоскость через точки пересечения параллельных прямых l и m n .
Но что, если мы «повернем» либо линию l , либо m в соответствующей плоскости перпендикулярности? Во-первых, мы знаем, что линии l и m больше не будут перпендикулярны; они станут косыми линиями. Кроме того, мы знаем, что углы, образованные пересечением l и n (а также m и n ), остались бы прежними, поскольку эти пары селезенки по-прежнему были бы перпендикулярны, как показано ниже.
Таким образом, хотя соответствующие углы для линий l и m , пересекаемых секущей n , равны (все они равны 90°), прямые не обязательно параллельны.
Рисование в трех измерениях
Очевидно, что сложно нарисовать фигуру в трех измерениях, используя двумерный лист бумаги (или экран компьютера).Тем не менее, мы можем очень легко сделать рисунки, которые выглядят трехмерными, следуя нескольким простым правилам. Сначала определите направления (лучи) для каждого измерения. Хотя это и не обязательно, иногда полезно нарисовать набор из осей , как показано ниже.
Обратите внимание, что мы показали, что все оси взаимно перпендикулярны, точно так же, как перпендикулярны направления влево-вправо, вверх-вниз и назад-вперед.Чтобы нарисовать трехмерную фигуру, используйте расстояния, параллельные определенной оси, чтобы создать иллюзию того, что фигура вытянута в этом направлении. Обратите внимание, например, на то, как куб показывает трехмерность благодаря своей связи с осями (даже если вы игнорируете оси, достигается тот же эффект).
Практическая задача : Используйте набор осей, чтобы нарисовать треугольник, который кажется «наклоняющимся» в трех измерениях.(Другими словами, плоскость, образованная треугольником, не параллельна поверхности этой страницы.)
Решение : Начните с рисования набора осей, как мы делали ранее.
Теперь давайте выберем три точки для треугольника и разместим по одной точке на каждой оси. Это создаст эффект треугольника, имеющего протяженность в трех разных направлениях (измерениях). Наконец, соедините точки, как показано ниже.
Таким образом, мы создали треугольник, который кажется «наклоняющимся» в трех измерениях. Безусловно, треугольник — это всего лишь двухмерный рисунок, но с помощью осей мы можем создать иллюзию (хотя и в несколько упрощенном виде), что треугольник «наклонен» относительно поверхности страницы.
Поперечные сечения
Рассмотрим трехмерную фигуру, например цилиндр; затем представьте себе плоскость, которая пересекает эту фигуру, как показано в примере ниже.Пересечение плоскости и трехмерной фигуры называется сечением , и представляет собой двумерный «срез» (бесконечно малой ширины) фигуры.
В приведенном выше примере плоскость поперечного сечения перпендикулярна вертикальной ориентации цилиндра, поэтому поперечное сечение представляет собой круг. Однако, если использовать другой угол, мы получим овал вместо круга для поперечного сечения.
Таким образом, мы видим, что двумерную геометрию можно в некотором смысле рассматривать как «сечение» трехмерной геометрии.
Практическая задача : Какие двумерные фигуры можно получить, взяв поперечное сечение сферы (примером сферы является ракетный мяч)?
Решение : Напомним, что поперечное сечение — это просто плоский «разрез» фигуры.
Итак, нарисуем плоскость и сферу.
Теперь поперечное сечение формируется путем опускания сферы (в данном случае) на плоскость, точно так же, как мы могли бы опустить ее в бассейн с водой. Поскольку сфера совершенно симметрична, результирующее поперечное сечение всегда представляет собой круг. В зависимости от того, где берется сечение относительно центра сферы, окружность может иметь радиус в пределах от нуля (плоскость касается сферы или просто касается ее в точке на поверхности сферы) к радиусу сферы.
| АНАЛИЗ ФИГУР В 1, 2 или 3 ИЗМЕРЕНИЯХ |
Что такое измерение и сколько их?
Словарь определяет измерение как « расширение в линии или направлении «, например длина , ширина или высота .
Большинство людей считают измерение чем-то, что мы измеряем как , поэтому время подходит под эту категорию.До недавнего времени нас учили, что мы живем в мире трех измерений – четырех, если считать время, – а кто не считает время? Но теперь физики говорят нам, что наш мир действительно имеет 27 измерений. Однако на этом уроке мы изучаем геометрические фигуры из трех удобных измерений , в которых мы жили веками. Мы изучаем размеры, которые мы называем длиной, шириной и высотой или высотой . Исследуем также количество точек, линий или ребер, и граней , из которых состоят эти фигуры.
Одномерная фигура открытая плоскость фигура, которую можно измерить только ОДНИМ способом , например длину или ширину 3 4 Двухмерные фигуры могут быть измерены в ДВУМЯ способами или направлениями, такими как длина И ширина . Это замкнутые плоские фигуры в виде квадратов, кругов или многоугольников любой формы и размера. Мы измеряем 2 аспекта двумерных фигур. периметр или расстояние по внешней стороне, выраженное в линейных единицах ; и площадь или пространство, ограниченное периметром, выраженным в квадратных единицах . Периметр квадрата со сторонами 7 дюймов равен 4 × 7 или 28 дюймов . Трехмерные фигуры называются твердыми телами. Мы измеряем их в трех измерениях : длина , ширина и высота или высота.Мы используем линейных единиц для периметра , квадратных единиц для измерения поверхности площади и кубических единиц для измерения объема или емкости твердого тела. Существует два типа трехмерных тел : Полигональные твердые вещества состоят из Polygon-в форме , , вершины или точки, где более 2 сторона встречаются, а кромки , линии где две стороны встречаются с . Призма имеет 2 одинаковых или конгруэнтных основания в форме многоугольника . . Подсчитаем вершины, ребра и грани Хотя мы могли бы рисовать изображения трехмерного тела и считать вершины, ребра и грани, есть способ получше. Мы разработали формулы , чтобы найти эти числа по закономерностям, которые мы наблюдали при их подсчете. Когда твердое тело представляет собой куб , прямоугольную призму , треугольную призму или треугольную пирамиду : Если нам известно число ЛИЦ (Ж) , то найти число: ВЕРШИН (V): умножаем F на 2, затем вычитаем 4: V = 2 F — 4 = 2( F — 2) Если мы знаем количество КРАЯ (Е) , чтобы найти количество: ВЕРШИНЫ (V): умножаем E на 2, затем делим на 3: V = 2 E ÷ 3 = 2/3 , затем прибавьте 2: F = E ÷ 3 + 2 Для квадратной пирамиды с квадратным основанием и 4 треугольными гранями формулы: Если мы знаем число ЛИЦ (Ж) , чтобы найти число: ВЕРШИНЫ (V): умножаем ( F — 2) на 2, затем вычитаем 1: V = 2( F — 2) — 1 = 2 F — 5 = Если мы знаем количество КРАЯ (Е) , чтобы найти количество: ВЕРШИН (V): умножаем ( E + 1) на 2, делим на 3 затем вычитаем 1: V = 2/3( E + 1) — 1. . Круглые тела Эти тела основаны на кругах. Банки, колонны зданий и резервуары для хранения жидкостей имеют цилиндрическую форму. Индикаторы объезда на шоссе и стаканы дикси у фонтана — это конусы, а планета, на которой мы живем, а также игрушки, которые мы подпрыгиваем, ударяем и бросаем, — это сферы. . Цилиндр имеет 2 плоские поверхности и 1 изогнутую поверхность. . Теперь возьмите карандаш, ластик и блокнот, скопируйте вопросы, . Практика 1) Сопоставьте слова слева с описаниями справа. 2) . Решения 1) Сопоставьте слова слева с описаниями справа. 2) 3 , но не обе , но не обе , но не обе . Эти фигуры линии , некоторые из них прямые, другие изогнутые, но все они линейные. 
Они не заключают форму. Мы измеряем одномерные фигуры с помощью линейных единиц , таких как дюйма, фута, ярда, или мили .Когда вы измеряете свой рост, вы измеряете себя в одном измерении.
Площадь того же квадрата равна 7 × 7 или 49 квадратных дюймов — записано в² .
те основаны на многоугольниках , а те основаны на окружностях .
В первую категорию входят призмы всех форм.
Круглые тела включают цилиндров , конусов и сфер .
Призма названа из-за формы основания .
РЕБРА (E) : умножаем F на 3, затем вычесть 6: E = 3 F — 6 = 3( F — 2)
РЕБРА (E) : умножаем ( F — 2) на 3, затем вычитаем 1: E = 3( F — 2) — 1 = 3 F — 7
ЛИЦА (F) : делим ( E + 1) на 3, затем прибавляем 2: F = ( E + 1) ÷ 3 + 2 Сплошной Количество граней Количество вершин Количество ребер Куб 6 8 12 Прямоугольная призма 6 8 12 Треугольная призма 5 6 9 Треугольная пирамида 4 4 6 Формула Ф В = 2( Ф — 2) E = 3( F — 2) Формула F = E ÷ 3 + 2 В = 2/3 Е Е Квадратная пирамида 5 5 8 Формула Ф В = 2( Ф — 2) — 1 E = 3( F — 2) — 1 Формула F = 1/3 ( E + 1) + 2 В = 2/3( Е + 1) — 1 Е 
Конус имеет 1 плоскую поверхность и 1 изогнутую поверхность.
Сфера имеет только изогнутые поверхности. Мы обычно называем Сферу шаром или глобусом.
выполните практические упражнения, затем проверьте свою работу с решениями.
Если вы застряли, просмотрите примеры в уроке, а затем повторите попытку.
сфера а) прямоугольная призма с 6 квадратными гранями. открытая фигура b) 3( F — 2) прямоугольник c) 1/3 (E + 1) + 2 конус г) двумерная фигура с 4 сторонами и углами. квадратная пирамида д) можно измерить только одним способом. 
куб f) круглое твердое тело без плоских поверхностей. формула для ребер г) круглое твердое тело с одной плоской поверхностью. формула для лиц h) трехмерное тело с 5 гранями. сфера f) круглое твердое тело без плоских поверхностей. открытая фигура д) можно измерить только одним способом. 
прямоугольник г) двумерная фигура с 4 сторонами и углами. конус г) круглое твердое тело с одной плоской поверхностью. квадратная пирамида h) трехмерное тело с 5 гранями. куб а) прямоугольная призма с 6 квадратными гранями. формула для ребер б) 3( Ф — 2) формула для граней в) 1/3 (Е + 1) + 2
а) Основание представляет собой прямоугольную призму с без вершиной — значит, у нее 6 — 1 = 5 граней .
sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane 
sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane 