Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Окто» означает восемь, «хедра» — означает грань (октаэдр – восьмигранник).
Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел.
Октаэдр имеет следующие характеристики:
Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.
Октаэдр имеет центр симметрии — центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Математические характеристики октаэдра Октаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы. Радиус описанной сферы октаэдра определяется по формуле: , где a — длина стороны. Сфера может быть вписана внутрь октаэдра. Радиус вписанной сферы октаэдра определяется по формуле: Площадь поверхности октаэдра Для наглядности, площадь поверхности октаэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон октаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 8. Либо воспользоваться формулой: Объем октаэдра определяется по следующей формуле: Октаэдр можно представить в виде двух правильных пирамид с четырехугольным основанием, соединенных друг с другом через это основание. Вариант развертки Октаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов. Выбираем цвет для многогранника. Древнегреческий философ Платон ассоциировал октаэдр с «земным» элементом воздух, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали серый цвет. На рисунке представлена развертка октаэдра: Заметим, что это не единственный вариант развертки. Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:Математические характеристики октаэдра
Вариант развертки
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка
Вариант окраски представлен на рисунке. Вы можете скачать развертку с соответствующей раскраской граней.
Головоломка звёздчатый октаэдр
Это новый, весьма необычный способ создать модель Звёздчатого многогранника открытого 1619 году немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером.
Волшебные грани в пунктах самовывоза
Для Вашего удобства мы снизили стоимость доставки наборов «Волшебные грани» в разы!
Мозаика Эшера
Одинаковым узором, повторяющимся на каждой грани многогранника, можно создать чередующуюся комбинацию рисунков на объемном геометрическом теле.
Люстра из многогранника
Подвесной потолочный светильник или по-простому — люстра, ещё никогда не был так близок к точным математическим формам.
Внешняя сфера многогранников
Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира.
Математические характеристики платоновых тел
У каждого из пяти тел Платона можно определить следующие математические характеристики: 1. Радиус сферы описанной вокруг многогранника; 2. Радиус сферы…
Календарик – додекаэдр
Как вы думаете, что общего у додекаэдра и календаря?
Когда-то разноцветные многогранники из бумаги и картона служили одновременно и наглядным пособием, и украшением школьных кабинетов математики и черчения. Изготовление этих фигур способствовало развитию пространственного мышления, знакомило с многообразием форм в их трехмерном проявлении. Изготовление таких многогранников из цветной бумаги — увлекательнейшее занятие, не лишенное интеллектуальной составляющей, удивительная возможность математикой выразить красоту окружающего мира.
Многогранник — понятие очень обширное, и зачастую новички, увлеченные изготовлением этих выпуклых и звездчатых фигур, поначалу путаются в их названиях, что, в общем-то, неудивительно.
К первым относятся правильные многогранники: тетраэдр, октаэдр, куб (гексаэдр), икосаэдр, додекаэдр. Ко вторым — полуправильные многогранники: усеченные версии Платоновых тел, кубооктаэдр, «курносый» куб и др. Не старайтесь сразу запомнить все эти сложные названия, мастерить их гораздо интереснее, чем заучивать термины 🙂
Для работы понадобится цветной или белый картон, который можно при необходимости раскрасить; линейка и угольники; хороший клей, который не коробит бумагу; ножницы; пинцет. Для изготовления заготовок многогранника удобно пользоваться картонными трафаретами: чертеж заготовки накладывают на плотный картон, шилом или иголкой делают проколы по вершинам детали, после чего по линейке соединяют эти точки.
Одним из простейших многогранников, которые проще всего сделать из бумаги (картона), является тетраэдр («Пирамида»).
Если же тетраэдр нужен разноцветный, то придется сделать четыре цветные заготовки в виде равносторонних прямоугольников. Из картона изготавливают четыре треугольника разного цвета (например, Ж, С, О, К — желтый, синий, оранжевый, красный), обязательно делая небольшие «припуски» для склеивания деталей.
При соединении отдельных заготовок сначала склеивают все четыре детали в положение, изображенное на рисунке ниже, затем приступают к соединению боковых граней. Сначала склеивают между собой только две из них, затем — оставшиеся детали.
Октаэдр — многогранник, состоящий из восьми равносторонних треугольников. Эта фигура выглядит довольно эффектно, а мастерить ее не сложнее, чем тетраэдр. Модель мастерят, сначала склеивая четыре треугольника таким образом, как это показано на рисунке ниже.
Когда грани 1 и 4 будут соединены, получится пирамида без основания — т.е. ровно половина нужной фигуры.
Вторую половину проще клеить таким образом: сначала четыре оставшихся треугольника приклеивают к соответствующим сторонам квадратного основания, затем соединяют соседние грани.
На третьем месте по простоте исполнения идет икосаэдр, гранями которого тоже являются равносторонние треугольники. Наиболее эффектно смотрятся разноцветные многогранники, у которых возможно варьирование распределения цветов. Например, можно сделать фигуру, у которой в каждой вершине будут сходиться все используемые цвета, или же у противоположных граней будут одинаковые расцветки, а у вершин будет повторяться один цвет.
Модель собирают из пяти треугольников, соединенных по схеме, указанной на рисунке ниже. В результате получится невысокая пятиугольная пирамида без основания. К сторонам основания приклеивают остальные пять треугольников, руководствуясь любой понравившейся цветовой схемой.
И, пожалуй, к несложным, но самым эффектным по своему внешнему виду многогранникам можно отнести додекаэдр. Наиболее красиво выглядят разноцветные додекаэдры: четырех- или шестицветные.
Построение модели начинают со приклеивания пяти разноцветных пятиугольников к центральному пятиугольнику — например, белого цвета. Затем цветные заготовки склеивают между собой — получается половина додекаэдра. Затем остальные грани заготовок подклеивают к уже готовой половине фигуры таким образом, чтобы выдержать задуманную цветовую схему и эффектный многогранник из бумаги будет готов.
Пример цветовой схемы:
Если вам, уважаемые читатели, интересна тема изготовления многогранников из бумаги, и хотелось бы видеть больше схем, пишите об этом в комментариях, публикации будут продолжены. Впереди нас ждут усеченные, «курносые» и красивейшие звездчатые формы многогранников.
org/Person»> Автор Кори Пул Добро пожаловать в мир математики! Это сообщество посвящено изучению искусства и архитектуры, вдохновленных математикой, с помощью проектов, материалов сообщества и вдохновляющих сообщений, связанных с рассматриваемой темой. Каждую неделю будет примерно четыре поста по следующему расписанию:
Моя цель — организовать общественный форум, на котором люди могут учиться, участвовать и вносить свой вклад. С учетом сказанного, пожалуйста, опубликуйте что-нибудь актуальное в разделе комментариев к сообщениям, на пробковой доске сообщества или создайте тему на форуме. Я надеюсь, что сообщество узнает друг от друга еще больше, чем из моих постов.
Так как это первый пост, а будущие понедельники будут посвящены представлению материалов сообщества, я собираюсь отойти от графика и поделиться простым проектом «Сделай сам» для изучения основ геометрического искусства.
Многогранники — это трехмерные расширения двумерных многоугольников.
Они полностью состоят из плоских граней и прямых краев. Поскольку они полностью состоят из плоских граней с прямыми краями, их часто можно развернуть в двухмерную форму, как картонную коробку. Эта развертка многогранника называется сеткой. Один из самых простых способов сделать трехмерную фигуру — сделать сетку из бумаги и сложить ее.
Чтобы показать, какие удивительные формы можно делать из бумаги, используя методы, похожие на складывание сетей, я представляю несколько изображений работы отца Магнуса Веннингера.
Это поистине удивительные геометрические фигуры. Объекты последней группы на самом деле являются трехмерными проекциями или тенями объектов, которые могут существовать только в четырех измерениях! Когда-нибудь, возможно, мы подробно рассмотрим эти полихороны.
А пока давайте посмотрим на сетки для складывания простых бумажных геометрических объектов. У Gijs Korthals Altes есть отличный сайт для поиска этих сетей. Все, что вам нужно сделать, это загрузить объект, а затем использовать принтер, чтобы распечатать его на обычной бумаге или картоне.
Затем вырежьте фигуру объекта и сложите его, как указано, а затем приклейте или заклейте объект скотчем.
Я предлагаю начать с Платоновых тел – простейших многогранников. Они полностью состоят из правильных многоугольников одинакового размера и формы и выпуклы, так что все углы изгибаются к центру формы. Шаблоны (сети) можно найти здесь. После того, как вы исчерпали платоновые тела, я предлагаю использовать архимедовы тела, которые могут иметь более одного типа многоугольника. Эти сети можно найти здесь.
Наконец, чтобы сделать по-настоящему крутые рождественские украшения, попробуйте несколько выпуклых многогранников, таких как многогранники Кеплера-Пуансо (скачать здесь). Обратите внимание, что это значительно сложнее и требует больше времени. Некоторые включают сотни складок. Большой икосаэдр, хотя и красивый, занял у меня почти 3 часа, чтобы вырезать и сложить из 1 листа бумаги.
Давайте рассмотрим процесс создания одного из них более подробно. Начнем с додекаэдра.
Перейдите на сайт загрузки и найдите многогранник, который хотите построить.
Чтобы следовать за мной, перейдите в раздел о платоновых телах и скачайте шаблон додекаэдра. Я рекомендую файлы .pdf и обычно печатаю цветную страницу, а не раскрашиваю ее самостоятельно. Распечатайте сеть. Вырежьте его с помощью ножниц или ножа.
Убедитесь, что вы вырезали пространство между вкладками и другим многоугольником, которого он начинает касаться. Оставьте только вкладку, подключенную к основному полигону.
Если вы использовали картон, надавите биговкой на края и язычки, которые нужно согнуть. Это делает бумагу более слабой в этих местах, позволяя сгибам быть почти идеальными. Если вы использовали бумагу, бумага будет довольно легко складываться без этого шага. Это может помочь, но также может испортить бумагу, если вы не будете осторожны.
Сложите и склейте или приклейте скотчем объект. Обычно я частично сгибаю все края и выступы, чтобы видеть, как будет формироваться объект.
Нанесите клей на выступ, который вы хотите приклеить.
Прижмите язычок к многоугольнику, к которому он должен прикрепляться. Для суперклея нужно подержать всего пару секунд. Для других клеев вам, возможно, придется держать около минуты.
Повторяйте нанесение клея на выступы и прижимайте детали друг к другу, пока не закончите. Конечный объект должен выглядеть так:
А теперь иди и поиграй со своей растущей коллекцией многогранников. Придумайте способы их использования в других проектах. Возможно, вы могли бы использовать их в качестве рождественских украшений. Получайте удовольствие и размещайте результаты на пробковой доске!
Вот мой: В эти выходные я решил использовать многогранники, чтобы сделать мобиль для моего новорожденного сына. Вот краткое изображение того, что я сделал, используя бумажные многогранники, несколько медных трубок диаметром 1/4 дюйма и немного медной акустической проволоки.
Наконец, вот мой самый полезный совет: не слишком расстраивайтесь. Некоторые из вас смогут сделать это легко сразу. Другим может потребоваться довольно много времени, чтобы создать что-то похожее на то, что сделал ребенок начальной школы. Ваши руки могут быть покрыты клеем. Это нормально. Как и все остальное, это может потребовать некоторой практики. Это было для меня. Веселиться. И знайте, что это вызывает привыкание. Вы можете получить дом, квартиру или комнату в общежитии, полностью заполненную ими.
Во вторник научимся делать многогранники из обычных игральных карт вот так:
Хотите освоить Microsoft Excel и поднять перспективы работы на дому на новый уровень? Начните свою карьеру с нашего учебного комплекта Microsoft Excel Premium от А до Я в новом магазине Gadget Hacks Shop и получите пожизненный доступ к более чем 40 часам базовых и продвинутых инструкций по функциям, формулам, инструментам и многому другому.
Купить сейчас (9Скидка 7 %) >
Другие интересные предложения:
Все функции
Все горячие сообщения
Они великолепны в классе.
Сопутствующие типы бумажных конструкций,
другой
конструкции и Zometool также
рекомендуемые.В справа одна из 59 звездочек икосаэдра. Делается путем вырезания из бумаги треугольников с выступы по краям и сборка с помощью клея. Я сделал это почти 20 лет назад, следуя планам, данным в книге Магнуса Веннингера Модели многогранников, указаны в справочниках. Нажмите на картинку для 3D версии.
в ссылках. Там
Вы также можете купить книги, в которых картонные страницы напечатаны
полноразмерные детали для вырезания, помеченные так, чтобы можно было просто приклеить язычок А к А,
и вкладка B к B и т. д. Некоторые из них превосходны, особенно для составных
модели. Это соединение пяти кубов
Я сделал из одной из вырезанных и вклеенных книг серии «Тарквиний», перечисленных
под Jenkins в ссылках.
Однако, для быстрого построения многих моделей многогранников мне нравится «без вкладки, с лентой» метод (показан ниже). Этот пятиугольный шестиконтаэдр (интересный пример архимедова двойной) строится таким образом. Вот шаблон вы можете распечатать, чтобы сделать свой собственный.
В этом есть определенная чистота дзен.
Однако это
модель не рекомендуется неопытным; начни с платонического
твердые вещества.1.) Приобретите хороший (бескислотный) цветной материал из художественного магазина. магазине, если вы хотите долговечную модель. Отметим, что недорогая «строительная бумага» и «дубовая бирка» сильно выцветут менее чем за несколько лет (эта когда-то был ярко окрашен, как это.) В этой модели я использую пять цветов.
2.) Аккуратно нарисуйте по одной копии каждого лица на листе бумаги или, по крайней мере, найдите вершины. Это послужит шаблоном. (Здесь я сделал две копии, потому что своей необычной формы; обычно достаточно одного. я размер полный версия размера, чтобы сделать четыре лица из сложенного листа бумаги.)
3.) Сложите кусочки бумаги стопкой и положите сверху бумажный шаблон. Пара зажимы для переплета будут крепко держать все вместе. (Эта модель требует 12 штук (3 сложенных листа) каждого из пяти цветов.)
4.) Используйте булавку или иглу, чтобы вертикально проткнуть стопку в каждой из
вершины, отмеченные на шаблоне.
Еще лучше очень тонкое сверло.
(Вы можете заменить шаги 3 и 4, просто скопировав шаблон на карту памяти.
или печать с компьютера на карточку, но это стоит дороже
и не будет работать со слишком толстым материалом, чтобы пройти через машину.)
5.) Используя отверстия в качестве ориентиров, отрезайте листы по одному листу за раз. Нож для резки бумаги очень удобен. Белая бумага под резаком позволяет легко видеть сквозь отверстия, чтобы выровнять бумагу под ножом для разреза.
А роторная бритва (продается в магазинах для квилтинга) имеет преимущество что прорезает точно через несколько слоев сразу, но тяжело чтобы закончить разрез именно там, где вы хотите, на внутреннем углу.
6.) Склеиваем лицевые стороны внутри. (Для этой модели нужно держать в Обратите внимание на пятицветный узор для икосаэдра, но новички могут начать с однотонных моделей.)
Обклеивание внутренней стороны, находясь снаружи, требует некоторого творчества
для нескольких последних ребер.